Cách chia đơn thức cho đơn thức, đa thức cho đơn thức và đa thức cho đa thức

Những bài học đầu tiên của chương trình đại số lớp 8 chúng ta sẽ tìm hiểu về đơn thức và đa thức cùng với phép tính nhân chia đơn thức, đa thức. Là một chuỗi những bài học này, hôm nay chúng ta sẽ cùng đến với phần Lý thuyết và bài tập Chia đa thức cho đa thức. Bên cạnh đó củng cố kiến thức phần chia đơn thức cho đơn thức và chia đa thức cho đơn thức. 

Tìm hiểu về cách chia đa thức cho đa thức
Tìm hiểu về cách chia đa thức cho đa thức

Lý thuyết Chia đa thức cho đa thức – lớp 8

Chia đa thức A cho đa thức B: Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến số (B ≠ 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R với R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Nếu R = 0 thì đó là phép chia hết, ngược lại là phép chia có dư. 

Trong đó:

  • A, B là các đa thức. 
  • R được gọi là dư trong phép chia A cho B.
  • Q được gọi là đa thức thương của phép chia đa thức A cho đa thức B.

Để rút gọn cho phép chia đa thức và khai triển đa thức thành các bậc dễ nhìn thì bạn có thể sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia đa thức cho đa thức và cả chia đa thức cho đơn thức. 

(A3 + B3) : (A + B) = A2 − AB + B2

(A3 − B3) : (A − B) = A2 + AB + B2

(A2 − B2) : (A + B) = A – B

Ví dụ:  

Dùng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia đa thức cho đa thức sau: 

  1. (125x3 + 1) : (5x + 1)
  2. (x2 –2xy + y2) : (y – x)

Hướng dẫn: 

  1. (125x3 + 1) : (5x + 1) = [(5x)3 + 1] : (5x + 1)= (5x)2 − 5x + 1 =25x2 − 5x + 1
  2. (x2 −2xy + y2) : (y − x) = (x − y)2 : [−(x − y)] = −(x − y) = y − x

Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và số dư trong phép chia đa thức

Phương pháp: 

Từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R.

Ví dụ: 

Cho hai đa thức A = 3x4 + x3 + 6x – 5 và B = x2 + 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R.

Giải: 

Thực hiện phép chia như sau:

chia da thuc cho da thuc 2

Kết luận: Vậy số dư trong phép chia là 5x – 2 và đa thức A được viết lại dưới dạng 3x4 + x3 + 6x – 5 = (x2 + 1)(3x2 + x – 3) + 5x – 2

Tìm điều kiện để thực hiện phép chia đa thức

Dạng toán: 

Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Phương pháp: 

– Thực hiện phép chia như bình thường, viết đa thức A về dạng A = B.Q + R.

– Sau đó dựa theo điều kiện bài toán để biện luận điều kiện. 

Ví dụ: 

Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức 4n3 − 4n2 − n + 4 chia hết cho biểu thức 2n+1

Giải: 

Thực hiện phép chia 4n3 − 4n2 − n + 4  cho 2n + 1 ta được:

4n3 − 4n2 − n + 4 = (2n+1).(n2 + 1) + 3

Để có phép chia hết thì điều kiện là số dư cũng phải chia hết cho 2n + 1. Tức là 3 chia hết cho 2n + 1. Vậy chúng ta cần tìm giá trị nguyên của n sao cho 2n + 1 là ước của 3. Ta có như sau: 

2n + 1 = 3 <=> n = 1

2n + 1 = 1 <=> n = 0

2n + 1 = −3 <=> n = −2

2n + 1 = −1 <=> n = −1

Vậy có giá trị n = 1, n=0, n = 2 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ứng dụng định lý Bezout trong bài toán chia đa thức cho đa thức

Định lý Bézout phát biểu rằng:

 Đa thức f(x)  khi chia cho nhị thức x – a thì được dư là R thì R = f(a).

Chứng minh định lý:

+ Cho đa thức f(x) và nhị thức x – a, thương của phép chia f(x) cho (x – a) là Q và dư R

+ Khi đó: f(x) = (x – a). Q + R

+ Khi đó: f(a) = (a – a). Q + R = R

Ví dụ:

Đa thức f(x) = x2 + x + 1 chia cho nhị thức (x – 1) được số dư là 3 thì f(1) = 3.

Trả lời câu hỏi sgk bài Chia đa thức cho đa thức

Trả lời câu hỏi 1, trang 27 sgk toán 8 tập 1

Cho đơn thức 3xy2

– Hãy viết một đa thức có hạng tử đều chia hết cho 3xy2

– Chia các hạng tử của đa thức đó cho 3xy2

– Cộng các kết quả vừa tìm được với nhau.

Giải: 

Cho đa thức: -9x3y6 + 18xy4 + 7x2y2

Ta có: 

(-9x3y6 + 18xy4 + 7x2y2) : 3xy2

= (-x3y6 : 3xy2) + (18xy4 : 3xy2) + (7x2y2 : 3xy2)

= -3x2y4 + 6y2 + (7/3)x

Trả lời câu hỏi 2, trang 27 sgk toán 8 tập 1

a) 

Khi thực hiện phép chia (4x4 – 8x2 y2 + 12x5y) : (-4x2), bạn Hoa viết:

4x4 – 8x2 y2 + 12x5y = – 4x2 .(- x2 + 2y2 – 3x3y)

Nên (4x4 – 8x2 y2 + 12x5y) : (- 4x2) = – x2 + 2y2 – 3x3y.

Em hãy nhận xét xem bạn Hoa giải đúng hay sai.

b) Làm tính chia:

(20x4y – 25x2y2 – 3x2y) : 5x2y.

Giải: 

a) Bạn Hoa giải đúng

b) Ta có: 

20x4y – 25x2y2 – 3x2y = 5x2y . (4x2 – 5y – 3/5)

Vậy nên (20x4y – 25x2y2 – 3x2y) : 5x2y = 4x2 – 5y – 3/5

Luyện tập bài Chia đa thức cho đa thức 

Bài 63 trang 28 sgk 

Không làm tính chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết đơn thức B không:

A = 15xy2 + 17xy3 + 18y2

B = 6y2

Giải: 

Vì: 

15xy2 chia hết cho 6y2

17xy3 chia hết cho 6y2

18y2 chia hết cho 6y2

Vậy A = 15xy2 + 17xy3 + 18y2 chia hết cho 6y2 hay A chia hết cho B.

Bài 64 trang 28 sgk 

Thực hiện  phép chia đa thức cho đa thức:

chia da thuc cho da thuc 3

Giải:

a)

chia da thuc cho da thuc 4

b)

chia da thuc cho da thuc 5

c) 

chia da thuc cho da thuc 6

Bài 65 trang 29 sgk 

Làm tính chia:

[3(x – y)4 + 2(x – y)3 – 5(x – y)2] : (y – x)2

Giải:

chia da thuc cho da thuc 7

Bài 66 trang 29 sgk 

Ai đúng ai sai?

Khi giải bài tập: Xét đa thức A = 5x4 – 4x3 + 6x2y có chia hết cho đơn thức B = 2x2 hay không?

Hà trả lời “A không chia hết cho B vì 5 không chia hết cho 2”

Quang trả lời: “A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho B”

Vậy ai trả lời đúng?

Giải: 

Ta có:

= (5x4 – 4x3 + 6x2y) : 2x2

= (5x4 : 2x2) + (- 4x3 : 2x2) + (6x2y : 2x2)

= (5/2)x2 – 2x + 3y

Vậy A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chi hết cho B. Nên bạn Quang trả lời đúng.

Xem thêm: Hướng dẫn cách chia đa thức cho đa thức 

Đề kiểm tra 15 phút bài Chia đa thức cho đa thức 

Đề số 1

chia da thuc cho da thuc 8

Đề số 2

chia da thuc cho da thuc 9

Đề số 3

chia da thuc cho da thuc 10

Cách chia đa thức cho đơn thức

Tìm hiểu cách chia đa thức cho đơn thức
Tìm hiểu cách chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc: 

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Chú ý: 

Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh.

Ví dụ:

Làm phép tính chia đa thức A cho đơn thức B, với: 

A = -12x4y + 4x3 – 8x2y2 

B = -4x2

Giải: 

Ta có: 

A : B = (-12x4y + 4x3 – 8x2y2) : (-4x2)

      = (-12x4y) : (-4x2) + (4x3 ) : (-4x2) – (8x2y2) : (-4x2)

      = 3x2 – x + 2y2

Cách chia đơn thức cho đơn thức

Đơn thức chia hết cho đơn thức:

Với A và B là hai đơn thức, B ≠ 0. Ta nói A chia hết cho B nếu tìm được một đơn thức Q sao cho A = B.Q

Tương đương Q = A : B

Quy tắc:

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B, chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến trong B rồi nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.  

Ví dụ: 

Thực hiện phép tính chia 6x3y2z : (-3xyz)

Giải: 

Ta có:  6x3y2z : (-3xyz)

= [6 : (-3)].(x3 : x).(y2 : y).(z : z)

= -2x3-1.y2-1.1

= -2x2y

Trên đây là những dạng toán chia đa thức cho đa thức, đa thức cho đơn thức và đơn thức cho đơn thức. Đây là kiến thức cơ bản của đại số lớp 8 và nó cũng là kiến thức quan trọng để các em có nền tảng cho những bài học về đại số ở bậc cao hơn. Hy vọng bài viết của lessonopoly đã hỗ trợ các em trong quá trình học tập và tìm hiểu phương pháp làm bài tập. 

Trả lời