Toán 7, 9, 10: Các dạng toán Cho tam giác ABC vuông tại A

Cho tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông để giải bài toán tìm hệ số góc, tìm cạnh, tính diện tích tam giác, chứng minh tam giác đồng dạng… Cùng tìm hiểu những bài toán, dạng toán trong phần học Tam giác.

Lý thuyết và bài tập về tam giác vuông
Lý thuyết và bài tập về tam giác vuông

Tam giác vuông

Khái niệm

Tam giác ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A

Cho tam giác ABC vuông tại A như hình vẽ. Có: 

– BC là cạnh huyền. 

– AC, AB là hai cạnh góc vuông. 

– AH là chiều cao của tam giác ABC

– BH là hình chiếu của AB lên cạnh huyền BC.

– CH là hình chiếu của AC lên cạnh huyền BC.

Định lý Pitago

  1. Định lý Pytago

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Tam giác ABC vuông tại A thì ta có:

BC2 = AB2 + AC2.

ABC vuông tại A, góc A = 90o
ABC vuông tại A, góc A = 90o
  1. Định lý Pytago đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

Tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2

=> Góc BAC = 90o.

  1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.                                                                                     a)   AB2 = BC.BH; AC2 = BC.CH                                                                                                                                               b)   AH2 = BH.CH                                                                                                                                                                       c)   AB.AC = BC.AH

          d)   cho tam giac abc vuong tai a 4

  1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

                 cho tam giac abc vuong tai a 5                                  cho tam giac abc vuong tai a 6

cho tam giac abc vuong tai a 7                                       cho tam giac abc vuong tai a 8

     

  1. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau thì:

sinα = cosβ, cosα = sinβ, tanα = cotβ, cotα = tanβ

  1. Một số tính chất của tỉ số lượng giác                                                                                                                          cho tam giac abc vuong tai a 9                                          cho tam giac abc vuong tai a 10                                                                                                                                                                                                                                                                              cho tam giac abc vuong tai a 11                                  cho tam giac abc vuong tai a 12                                                                                                                                                          
  2. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

– Cạnh góc vuông = cạnh huyền.sin góc đối

AC = BC.sinB, AB = BC.sin C

– Cạnh góc vuông = cạnh huyền.cos góc kề

AC = BC.cosC, AB = BC.cosB

– Cạnh góc vuông 1 = cạnh góc vuông 2.tan góc đối

– Cạnh góc vuông 1 = cạnh góc vuông 2.cot góc kề

Trả lời câu hỏi Tam giác vuông tại A

Ví dụ 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính tổng góc B + góc C

Giải:

Vì tam giác ABC vuông tại A => góc A = 90o

Ta lại có:  Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180o

=> góc B + góc C + góc A = 180o 

=> góc B + góc C = 180o – 90o = 90o.

Vậy tổng góc B + góc C bằng 90o.

Ví dụ 2: 

Tính các số đo x, y ở các hình 47, 48, 49, 50, 51.

Bài tập trang 107, sgk toán lớp 7
Bài tập trang 107, sgk toán lớp 7

Giải:

Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác bằng 180º ta có:

– Hình 47

x + 90o + 55o = 180o

x = 180o – 90o – 55o

x = 35o

– Hình 48

x + 30o + 40o = 180o

x = 180o – 30o – 40o

x = 110o

– Hình 49

x + x + 50o = 180o

2x = 180o – 50o

x = 65o

– Hình 50

Áp dụng định lý góc ngoài của tam giác ta có:

y = 60o + 40o

y = 100o

x + 40o = 180o (2 góc kề bù)

x = 140o

– Hình 51

Áp dụng định lý góc ngoài trong tam giác ABD có: x = 70o + 40o = 110o

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác ADC có:

y + 110o + 40o = 180o 

=> y = 30o.

Bài tập tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A…

Bài 1

Cho tam giác vuông ABC có AB = 5cm; AC = 12CM, BC = 13 CM

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A và tính độ dài đường cao AH

b) Kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh AE.AB = AF.AC.

Giải: 

cho tam giac abc vuong tai a 14

a) Ta có AB2 = 52 = 25, AC2 = 122 = 144, BC2 = 132 = 169

Ta thấy BC2 = AB2 + AC2

=> Tam giác ABC vuông tại A (định lý Pitago đảo).

b) Theo hệ thức cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Xét tam giác AHB vuông tại H. Ta có:

HA2 = AB.AE (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H. Ta có:

HA2 = AF.AC (2)

Từ (1) và (2) => AE.AB = AF.AC (điều phải chứng minh).

Bài 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 3,6cm, HC = 6,4cm

a) Tính độ dài cạnh AB, AC, AH.

b) Kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh AE.AB = AF.AC

Bài 3

Cho hình chữ nhật ABCD. Từ D hạ đường vuông góc xuống AC cắt AC tại H. Biết rằng AB = 13cm, DH = 5cm, tính độ dài BD.

Bài 4

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm và AH

a) tính BC, AH

b) Tính góc B, góc C

c) Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE.

Bài 5

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 6cm, HC = 8cm

a) Tính độ dài HB, AB, AC

b) Kẻ HD vuông giác với AC (D AC). Tính độ dài HD và diện tích tam giác AHD.

Bài 6

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm.

a) Tính BC

b) Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE.

c) Từ E kẻ EM và EN vuông góc với AB, AC. Hỏi tứ giác AMEN là hình gì? Tính diện tích AMEN.

Bài 7

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, BH  = 9cm, CH = 25cm. Tính AH, AB?

Bài 8

Cho tam giác ABC, BC = 15cm, góc B = 34o, góc C = 40o, kẻ AH vuông góc BC (H BC). Tính AH?

Bài 9

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm.

a) Tính BC, góc B, góc C

b) Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD.

Bài 10

Cho tam giác vuông tại A, góc C = 30o, BC = 10cm

a) Tính AB, AC

b) Kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với đường phân giác trong và ngoài của B. Chứng minh AN//BC, AB//MN. 

c) Chứng minh tam giác MAB đồng dạng với tam giác ABC

Bài 11

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Lấy điểm I thuộc cạnh AC sao cho góc ABI= góc C. Đường tròn (O) đường kính IC cắt BI ở D và cắt BC ở M.

Chứng minh rằng:

a) CI là tia phân giác của góc DCM.

b) DA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 12

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn tâm I tùy ý đi qua B và C, cắt AB và AC theo thứ tự ở M và N. Đường tròn tâm K ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. Chứng minh rằng:

a) AKIO là hình bình hành.

b) góc ADI = 90o.

Bài 13

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn ở D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm trên AC của đường tròn (I).

a) Chứng minh rằng BD = BE.

b) Suy ra cách dựng đường tròn (I) nói trên.

Bài 14

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của D trên AB, AC. Gọi I, K theo thứ tự là hình chiếu của E trên AB, AC. Chứng minh rằng:

a) AI + AK = AB + AC;

b) Diện tích tứ giác AMEN bằng diện tích tam giác ABC.

Bài 15

Qua điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AO, cắt AO tại H và cắt đường tròn (O) tại E và F (E nằm giữa K và F). Gọi M là giao điểm của OK và BC. Chứng minh rằng:

a) EMOF là tứ giác nội tiếp.

b) AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 16

Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 16, BC = 24, đường cao AE. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc AC tại F.

a) Chứng minh rằng OECF là tứ giác nội tiếp và BF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

b) Gọi M là giao điểm của BF với đường tròn (O). Chứng minh rằng BMOC là tứ giác nội tiếp.

Bài 17

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đường tròn nội tiếp hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) của hai đường tròn (P) và (Q), nó cắt AB, AH, AC theo thứ tự ở M, K, N. Chứng minh rằng:

a) Các tam giác HPQ và ABC đồng dạng.

b) KP // AB, KQ // AC.

c) BMNC là tứ giác nội tiếp.

d) Năm điểm A, M, P, Q, N thuộc cùng một đường tròn.

e) Tam giác AED vuông cân (D, E theo thứ tự là giao điểm của PQ với AB, AC).

Trên đây là lý thuyết và bài tập về dạng toán cho tam giác ABC vuông tại A. Các em hãy tập giải dạng toán này vì đây là dạng toán trọng tâm của phần toán Hình. Nếu cần hỗ trợ giải đáp hãy để lại comment cho lessonopoly nhé các em. Chúc các em học tốt. 

Trả lời