Giải toán: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH

Dạng toán: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH… xuất hiện nhiều trong khi làm bài tập. Dưới đây là một số bài toán cơ bản về dạng toán này. Các bài toán được giải từ sách bài tập toán, các em cùng tham khảo nhé. 

Cho tam giác ABC vuông t… giải toán!ại A đường cao AH
Cho tam giác ABC vuông t… giải toán!ại A đường cao AH

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH: 

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH – Bài tập số 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.5). Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:

a) Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH. 

b) Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH.

Hình 5
Hình 5

Giải: 

a) 

– Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: AH2 = BH. CH

=> CH = AH2/BH = 162/25 = 10,24.

BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24.

– Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2 = BH.BC

=> AB = √(BH.BC)

      = √(25.35,24)

      = √(881 = 29,68.

AC2 = HC.BC

=> AC = √(CH.BC)

      = √(10,24.35,24) = √(360,9) = 18,99.

b) 

– Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:   

AB2 = BH.BC

=> BC = AH2/BH = 122/6 = 24. 

CH = BC – BH = 24 – 6 = 18.

– Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AC2 = HC.BC

=> AC = √(CH.BC)

      = √(18.24)

      = √432 = 20,78.

– Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

AH2 = HB. HC

=> AH = √(HB. HC)

      = √(6.18)

      = √108 = 6√3.

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH – Bài tập số 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AC = 16cm và sin góc CAH = 4/5. Độ dài các cạnh BC, AB là:    A.  BC = 20 cm; AB = 12 cm.                                                                                                                                            B. BC = 22 cm; AB = 12 cm.                                                                                                                                              C. BC = 20 cm; AB = 13 cm.                                                                                                                                              D. BC = 20 cm; AB = 16 cm.

Giải:

Hình vẽ
Hình vẽ

– Xét tam giác CAH vuông tại H, ta có:

sin góc CAH = 4/5 <=> HC/AC = HC/16 = 4/5 

<=> HC = (4.16)/5 = 12,8 cm.

– Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông tại A, đường cao AH, ta có:

AC2 = HC.BC 

=> AC2 = 162/(12,8)2 = 20 cm

– Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 => AB2 = BC2 – AC2 = 202 – 162 = 144.

=> AB = 12 cm

Vậy BC = 20 cm; AB = 12 cm. 

Đáp án đúng là A.

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH – Bài tập số 3

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Chứng minh rằng: 

a)  AB2 = BH.BC 

b) AC2 = CH.BC  

c) AH2 = HB.HC

Giải:

Hình vẽ
Hình vẽ

 

a)

– Xét tam giác ABH và tam giác CBA, ta có:

+ góc B chung

+ góc AHB = góc CAB = 90o.

=> tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA (góc_góc).

=> AB/BC = BH/AB (hai góc tương ứng bằng nhau)

=> AB2 = BH. BC (điều phải chứng minh)

b) 

– Xét tam giác ACH và tam giác BCA có:

+ góc C  chung

+ góc AHC = góc BAC = 90o

=> tam giác ACH đồng dạng với tam giác BCA (góc_góc)

=> AC/BC = HC/AC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

=> AC2 = CH.BC (điều phải chứng minh)

c) 

– Xét tam giác ABH và tam giác CAH có:

+ góc AHB = góc CHA = 90o.

+ góc B = góc CAH (cùng phụ với góc BAH)

=> Tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (góc_góc)

=> AH/CH = BH/AH (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

=> AH2 = BH. CH (điều phải chứng minh)

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH – Bài tập số 4

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.Biết AB = 3 , AC = 4

a)Tính độ dài cạnh BC

b)Tính diện tích tam giác ABH

Giải: 

a) 

– Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2

=> BC2 = 32 + 42 = 25

=> BC = √25 = 5 (cm)

b) 

– Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có AH là đường cao, ta có:

cho tam giac abc vuong tai a duong cao ah 5

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH – Bài tập số 5

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng góc HAB = góc MAC.

Giải: 

Hình vẽ
Hình vẽ

– Ta có: AH vuông góc BC (gỉa thiết) => góc HAB + góc B = 90o.

– Lại có: Góc B + góc C = 90o (vì tam giác ABC vuông tại A).

=> Suy ra góc HAB = góc C (1) 

– Tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC

=> AM = MC = 1/2.BC (tính chất tam giác vuông)

=> Tam giác MAC cân tại M => góc MAC = góc C (2)

– Từ (1) và (2) suy ra: góc HAB = góc MAC (điều phải chứng minh).

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH – Bài tập số 6

Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH.Biết AH = 14cm, HB/HC = 1/4.Tính chu vi tam giác ABC.

Giải:

Hình vẽ
Hình vẽ

cho tam giac abc vuong tai a duong cao ah 8

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH – Bài tập số 7

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kể từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

Giải: 

Hình vẽ
Hình vẽ

 

– Xét tứ giác ADHE, ta có:

+ góc A = 90o (giả thiết)

+ góc ADH = 90o (vì HD vuông góc AB)

+ góc AEH = 90o (vì HE vuông góc AC)

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

– Xét tam giác ADH và tam giác EHD có:

+ DH chung

+ AD = EH (vì ADHE là hình chữ nhật)

+ góc ADN = góc EHD = 90o

Suy ra tam giác ADH = tam giác EHD (cạnh_góc_cạnh).

=> góc A1 = góc HED

– Lại có: góc HED + góc E1 = góc HEA = 90o

Suy ra: góc E1 + góc A1 = 90o.

Góc A1 = góc A2 (chứng minh trên) => góc E1 + góc A2 = 90o.

Gọi I là giao điểm của AM và DE.

Trong tam giác AIE ta có: góc AIE = 180o -( góc E1 + góc A2) = 180o – 90o = 90o.

Vậy AM vuông góc với DE.

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH – Bài tập số 8

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kể từ H đến AB, AC. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DI // EK

Giải:

Hình vẽ
Hình vẽ

– Tam giác BDH vuông tại D có DI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH

=> DI = IB = 1/2 BH (tính chất tam giác vuông)

=> Tam giác IDB cân tại I => góc DIB = 180o – 2.góc B (1)

– Tam giác HEC vuông tại E có EK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền HC.

=> EK = KH = 1/2 HC (tính chất tam giác vuông) 

=> tam giác KHE cân tại K => góc EKH = 180o – 2.góc KHE (2)

– Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên:

HE // AD hay HE // AB => góc B = góc KHE (đồng vị) (3) 

Từ (1), (2) và (3) suy ra: góc DIB = góc EKH 

Vậy DI // EK (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH – Bài tập số 9

cho tam giac abc vuong tai a duong cao ah 11

Giải: 

 

Vậy góc ABC bằng 60 độ. 
Vậy góc ABC bằng 60 độ.

 

Với những bài toán về: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH trên đây là các bài toán điển hình nhất. Mong rằng sẽ hỗ trợ các em trong quá trình học tập. Chia sẻ bài viết hữu ích của lessonopoly cho các bạn bè cùng học tập nhé. Chúc các em học tốt. 

Trả lời