Định lý Talet thuận, định lý Talet đảo và hệ quả của định lý Talet

Định lý Talet là một trong những định lý được sử dụng nhiều nhất trong toán học. Với định lý này, ta có thể chứng minh nhiều hệ thức trong hình học và ứng dụng vào tính toán thực tế. Áp dụng định lý Talet như thế nào và sử dụng định lý Talet trong tam giác ra sao, mời bạn theo dõi nội dung sau đây. 

Định lý Talet phát biểu những gì?
Định lý Talet phát biểu những gì?

Tỉ số của hai đoạn thẳng

– Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

– Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD được kí hiệu là AB/CD. 

– Chú ý: Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào các chọn đơn vị đo.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB và một tỉ số m/n > 0. Điểm C thuộc AB biết CA/CB = m/n. Khi đó, ta gọi điểm C là điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số m/n.

Đoạn thẳng tỉ lệ

– Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu  có tỉ lệ thức như sau: 

Hệ thức đoạn thẳng tỉ lệ
Hệ thức đoạn thẳng tỉ lệ

Định lý Talet trong tam giác

– Định lý Talet (Thales) trong hình tam giác là một định lý quan trọng được phát biểu bởi nhà toán học Thales. Định lý này để chứng minh các vấn để trong tam giác của hình học phẳng.

Định lý Talet thuận

– Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Hình vẽ
Hình vẽ

– Cho tam giác ABC như hình vẽ, BC // B’C’ thì:

dinh ly talet 4

Định lý Talet đảo

– Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

dinh ly talet 5

– Cho tam giác ABC như hình vẽ, nếu ta có: 

dinh ly talet 6

Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

Hệ quả của định lý Talet

– Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh hoặc cắt phần kéo dài của hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

– Cho tam giác ABC, có B’C’ song song với BC ta có:

dinh ly talet 7

Định lí Talet trong hình thang

– Nếu một đường thẳng song song với hai đáy của hình thang và cắt hai cạnh bên thì nó định ra trên hai cạnh bên đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

dinh ly talet 8

Cho hình thang ABCD, điểm E thuộc AD và F thuộc BC như hình vẽ, nếu EF//AB//CD thì ta có hệ thức sau:

dinh ly talet 9

– Ngược lại:

dinh ly talet 10

Định lí Talet trong không gian

Dạng 1. Tính độ dài của đoạn thẳng, chu vi và diện tích, các tỉ số

Phương pháp:

– Để giải các bài toán dạng này, ta sử dụng định lý Talet, hệ quả của định lý Talet và tỉ số đoạn thẳng để tính toán nhé.

  • Định lý. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó sẽ định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
  • Hệ quả. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với 3 cạnh tam giác đã cho. 

– Mặt khác, chúng ta còn có thể sử dụng đến tính chất của tỉ lệ thức:

dinh ly talet 11

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song và chứng minh đẳng thức hình học

– Để giải các bài toán thuộc dạng này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Talet, định lý Talet đảo và hệ quả của định lý Talet để chứng minh nhé.

– Phát biểu lại các định lý trên:

+ Định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

+ Định lý Talet đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

+ Hệ quả: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh hoặc cắt phần kéo dài của hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Ví dụ 

Bài 1. Chi hình thang ABCD, đáy AB. Từ đỉnh C, kẻ đường thẳng song song với AD, đường thẳng này cắt BD tại P và cắt  AB tại E. Qua D, kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt AC tại N và cắt AB tại F. Đường thẳng qua E song song với AC cắt BC tại Q và đường thẳng qua F song song với BD cắt AD tại M.

  1. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng song song với hai đáy.
  2. Chứng minh MN = PQ
  3. Cho AB = a, DC = b. Chứng minh các điểm M, N, P, Q theo thứ tự chia các đoạn thẳng  AD, AC, BD, BC theo cùng một tỉ số k. Tính k theo a, b.

Giải:

Hình vẽ
Hình vẽ

dinh ly talet 13

 

Bài 2. Cho hình thang ABCD đáy lớn CD. O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E và đường thẳng qua B song song với AD cắt đường thẳng AC tại F.

  1. Chứng minh EF// AB
  2. Chứng minh hệ thức AB2 = EF. CD
  3. Gọi S1, S2, S3, S4 theo thứ tự là diện tích các tam giác OAB, OCD, OAD và OBC. Chứng minh hệ thức: S1.S2 = S3. S4. 

Giải:

 

Hình vẽ
Hình vẽ

dinh ly talet 15

Bài 3. Cho  tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Lấy một điểm D bất kì trên đoạn thẳng AM, J là giao điểm của BD và AC, I là giao điểm của CD và AB. Chứng minh IJ//BC.

Giải: 

– Từ M kẻ đường thẳng song song với DC cắt AB ở P và kẻ đường thẳng song song với DB cắt AC ở Q. Ta có:

IP = PB và JQ = QC.

dinh ly talet 17

Từ (1) và (2) suy ra IJ//BC (điều phải chứng minh). 

Xem thêm: Bài giảng Định lý Talet trong tam giác 

Bài toán vận dụng

Áp dụng định lý Talet và kiến thức toán học để giải các bài tập dưới đây nhé
Áp dụng định lý Talet và kiến thức toán học để giải các bài tập dưới đây nhé

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của cạnh CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.

a) Chứng minh rằng IK // AB

b) Đường thẳng IK cắt AD và BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng EI = IK = KF. 

Bài 2. Cho hình thang ABCD có hai đáy không bằng nhau. Chứng minh rằng đường thẳng nối giao điểm của hai đường chéo với giao điểm của hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai cạnh đáy.

Bài 3. Cho tam giác cân ABC (CA = CB), đường cao BD. Trên các cạnh BA, BC lấy tương ứng hai điểm E và F sao cho BE = BF = BD. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở N, cắt BD ở K. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở M, cắt BD ở I.

Tính độ dài các cạnh AB, BC nếu biết EM = 9cm, FN = 12cm và IK = 6cm.

Bài 4. Cho hình thang cân ABCD, có đáy lớn là CD, đáy nhỏ là AB. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F.

a) Chứng minh tứ giác DEFC là hình thang cân.

b) Tính độ dài đoạn EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.

Bài 5. Qua trọng tâm G của tam giác ABC, kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB và BC lần lượt ở D và E. Tính độ dài đoạn DE, biết AD + EC = 16cm, chu vi tam giác ABC = 75cm.

Bài 6. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 14cm, CD = 35cm, AD = 17,5cm. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho DE = 5cm. Qua E vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC ở F. Tính độ dài đoạn EF.

Bài 7. Cho hình thang ABCD (BC // AD và BC < AD). Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và BC sao cho AM/AB = CN/CD. Đường thẳng MN cắt AC và BD tương ứng ở E và F. 

Chứng minh EM = FN.

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là một điểm trên cạnh CD, K là một điểm trên cạnh CB sao cho DG/GC = 1/2 và BK/KC = 3/2. Gọi giao điểm của BD với AG và AK lần lượt là E và F.

Tính độ dài các đoạn DE, EF, FB nếu biết BD = 24cm. 

Bài 9. Cho tam giác đều ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, O là một điểm nằm trong tam giác và O khác G. Đường thẳng OG cắt BC, AB và AC lần lượt ở A’, B’, C’.

Tính A′O/A′G + B′O/B′G + C′O/C′G.

Bài 10. Cho hình thang cân ABCD (AD // BC). Đường cao BE cắt đường chéo AC tại F. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M.

Tính độ dài đoạn BM, biết AB = 20cm và AF/FC = 2/3.

Trên đây là định lý Talet trong kiến thức hình học trung học và phổ thông. Các bạn hãy áp dụng định lý Talet, định lý Talet đảo và hệ quả của định lý Talet để giải các bài tập trên. Nếu có câu hỏi nào về các bài toán trên hãy để lại comment cho lessonopoly nhé. 

Trả lời