Định lý Viet và những điều thú vị bạn cần biết

Trong môn toán học có rất nhiều định lý bạn cần phải lưu ý khi giải bài tập. Và trong số đó có định lý Viet. Trong một số dạng bài tập không biết giải thể nào thì áp dụng định lý Viet chính là cứu cánh cho bạn trong những lúc này. Thế nhưng có rất nhiều bạn lại nhầm lẫn định lý Viet với một số định lý khác. Bài viết sau lessonopoly sẽ gửi đến những kiến thức liên quan đến định lí Viet. Các bạn hãy cùng tham khảo nhé!

Định lý Viet được áp dụng rất nhiều trong giải phương trình
Định lý Viet được áp dụng rất nhiều trong giải phương trình

Định lý Viet

Tính giá trị các biểu thức đối xứng của 2 nghiệm phương trình bậc 2: 

Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó.

Định lý Viet thuận

Nếu phương trình bậc hai có dạng:

Dạng cơ bản của phương trình bậc 2
Dạng cơ bản của phương trình bậc 2

có 2 nghiệm phân biệt thì:

dinh ly viet 03

Định lý Viet đảo

Nếu ta có hai số u, v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình :

dinh ly viet 04

Hãy tham khảo video sau đây để hiểu hơn về định lý Viet nhé!

Ví dụ bài tập định lý viet

Bài 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: x^2-8x+11=0

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính Δ =(-4)^2-1.11=5>0

Ta có: S=x1+x2= (-b)/ a= -((-8) / 1) = 8

P=x1.x2= c / a = 11 / 1 = 11

Bài 2: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:2x^2-8x-29=0

Hướng dẫn:

Với bài toán này, ta nhận thấy hệ số a và c trái dấu, như đã học ở bài trước, pt này chắc chắn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy: 

S=x1+x2= (-b)/ a= -((-8) / 2) = 4

P=x1.x2= c / a = 25 / 1 = 25

Định lý viet bậc 3

Cho phương trình:

Dạng tổng quát của phương trình bậc 3
Dạng tổng quát của phương trình bậc 3

Định lý Viet thuận

Nếu phương trình có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì ta có:

dinh ly viet 06

Định lý Viet đảo

Nếu 3 số x, y, z thỏa mãn:

dinh ly viet 07

Thì x, y,z là 3 nghiệm của phương trình:

dinh ly viet 08

Các dạng toán ứng dụng định lý Viet

Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao cho chúng không phụ huộc vào tham số

Phương pháp:

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 

– Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1+x2 và P = x1.x2 theo tham số

– Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2. Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x_1 và x_2.

 

Bài 1:

Cho phương trình: (m-1)x^2-2mx+m-4=0 có 2 nghiệm x1,x2. Lập hệ thức liên hệ giữa x1,x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Giải:

dinh ly viet 09

Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình : (m-1)x^2-2mx+m-4=0 .

Chứng minh rằng biểu thức A=3(x1+x2)+2.x1x2-8 không phụ thuộc giá trị của m.

Giải:

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì :

dinh ly viet 10

Nhận xét:

– Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

– Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Xem thêm: Tổng hợp về bảng đạo hàm cơ bản và đầy đủ nhất

Xem thêm: Tổng hợp lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9, kèm bài tập vận dụng

Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho

Phương pháp:

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

– Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).

– Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

Ví dụ:

Cho phương trình : mx^2-6(m-1)x+9(m-3)=0

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x_1 và x_2 thoả mãn hệ thức : x1+x2=x1.x2

Giải:

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là :

dinh ly viet 11

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Phương pháp:

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

dinh ly viet 12

Ví dụ:

dinh ly viet 13

Các ứng dụng của định lý Vi-ét

Theo hệ thức Vi-et, phương trình ax^2+bx+c=0 (2) với a≠0 có hai nghiệm là x1, x2 khi và chỉ khi thỏa mãi các hệ thức:

x1+x2=−b/ a

x1.x2=c/ a

Từ hệ thức viet chúng ta có thể áp dụng để tìm 2 số a và b khi biết a+b=S và a.b=P, khi đó ta chỉ cần giải phương trình x^2−Sx+P=0, a và b chính là 2 nghiệm của phương trình.
Do đó, các ứng dụng của Định lý Vi-et bao gồm:                               

  • Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2. Ví dụ: Với phương trình x^2–5x+6=0, ta có thể tính nhẩm nghiệm số nguyên của phương trình là 2 và 3 bởi 2 + 3 = 5 và 2 x 3 = 6.       
  • Tìm 2 số khi biết tích và tổng: Nếu tổng là S, tích là P thì hai số có 2 nghiệm phương trình gồm : x^2–Sx+P=0 (Lưu ý, hai số trên tồn tại với điều kiện là S^2–4P>=0)
  • Tính giá trị các biểu thức đối xứng của 2 nghiệm phương trình bậc 2: 
  • Biến tam thức bậc 2 thành nhân tử: Nếu x1, x2 là nghiệm của đa thức f(x)=ax^2+bx+c có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x – x1)(x – x2)

Bài tập ứng dụng định lý Viet

Sau đây là những bài tập áp dụng định lý Vi-et đã học ở trên mà chúng ta cùng tham khảo sau đây.

Bài tập 1: Gọi các nghiệm của phương trình x^2–3x+1=0 là x1, x2. Yêu cầu tìm giá trị của các biểu thức mà không giải phương trình.

Bài giải: Có Δ = -3^2 – 4.1 = 9 – 4 = 5 > 0 => phương trình có nghiệm x1, x2 # 0  

Bài tập 2: Đề bài có phương trình x^2 + (2m – 1)x – m = 0

  1. Chứng minh với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
  2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm. Để biểu thức A=x21+x22−x1.x2 có giá trị nhỏ nhất hãy tìm giá trị của m.

Bài tập 3: Tìm giá trị của k của phương trình x^2 + 2x + k = 0 để nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1 trong các điều kiện như sau:

x1 – x2 = 14

x1 = (x2)^2

(x1)^2+ (x2)^2=1

1/x1 + 1/x2 = 2

Bài viết trên đã gửi đến bạn lý thuyết cũng như những dạng bài tập ứng dụng định lý Viet. Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích được cho bạn. Định lý Viet được áp dụng rộng rãi vào các bài tập giải phương trình đặc biệt là câu lấy điểm 10. Các bạn hãy lưu ý những kiến thức trên nhé!

Trả lời