Kiến thức cần nhớ: Đường tròn lượng giác Vật lý 12

Trong chương trình môn Vật lí đặc biệt là năm lớp 12 thì phương trình lượng giác là kiến thức bạn cần lưu ý. Đây là kiến thức được áp dụng rất nhiều trong các bài tập đặc biết xuất hiện trong nhiều bài thi. Tuy nhiên đường tròn lượng giác rất hay bị nhầm lẫn với những kiến thức khác. Bài viết sau đây lessonopoly sẽ gửi đến bạn những kiến thức liên quan đén đường tròn lượng giác. Các bạn hãy cùng tham khảo nhé!

Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị
Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị

 

Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác 

Khái niệm: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng ( quy ước chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ) và trên đó chọn điệm A làm gốc.

Điểm M(x;y) trên đường tròn lượng giác sao cho (OA; OM) = α được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo α.

Trục Ox được gọi là trục giá trị của cos.

Trục Oy được gọi là trục giá trị của sin.

Trục At gốc A cùng hướng với trục Oy được gọi là trục giá trị của tang.

Trục Bs gốc B cùng hướng với trục Ox được gọi là trục giá trị của cotang.

Hãy cùng tham khảo video sau đây để hiểu hơn về đường tròn lượng giác nhé!

Giá trị lượng giác sin, cosin, tang và cotang:

duong tron luong giac 02

Dấu của các giá trị lượng giác

Bảng thể hiện dấu của các giá trị lượng giác
Bảng thể hiện dấu của các giá trị lượng giác

Cung liên kết- Phần kiến thức đường tròn lượng giác lớp 11 nhất định phải thuộc.

 

Góc đối nhau

( cos đối)

Góc bù nhau

(sin bù)

Góc phụ nhau

(Phụ chéo)

Góc hơn kém

(Khác pi tan)

cos (-α)= cos αSin (π-α) = sin αsin (π/2-α)= cos αSin (π+α) = -sin α
Sin (-α) = -sin αCos (π-α) – cos αcos  (π/2-α) = sinαcos (π+α) = -cosα
Tan (-α) = tan αTan (π-α)= -tan αTan (π/2-α) = cot αtan (π+α) = tanα
cot (-α) = -cot αcota (π-α)= – cot αCot (π/2-α) = tan αcot (π+α) = cotα

 

Các công thức lượng giác trọng tâm

– Công thức cơ bản

Bảng công thức lượng giác cơ bản
Bảng công thức lượng giác cơ bản

Công thức cộng

Cos (a+b) = cosa.cosb – sina.sinb

 

Cos (a-b) = cosacosb + sina.sinb

 

Sin (a+b) = sina.cosb + sinb.cosa

 

tan (a+b) = (tana + tanb)/ (1 – tana.tanb)

 

tan (a-b) = (tana – tanb)/ (1 + tana.tanb)

 

Công thức nhân đôi, hạ bậc

Trong bài đường tròn lượng giác lớp 11 thì công thức cộng, nhân đôi hạ bậc là hai phần đặt biệt quan trọng. Nếu không ghi nhớ được 2 phần kiến thức này, các em sẽ gặp nhiều khó khăn khi giải toán lượng giác và thậm chí là không giải được. Vậy nên ngay từ bây giờ cần tổng ôn các công thức này bằng cách thực hành bài tập thường xuyên.

Sin2a = 2sina.cosa, tan 2a = 2tana/(1 – tan²a)

Cos2a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a = cos²a – sin²a

Sin²a = (1-cos2a)/2, cos²a  = (1+ cos2a)/2

Cos3a = 4cos³a – 3cosa ⇒ cos³a = (3cosa + cos3a) / 4

Sin3a = 3sina – 4sin³a ⇒ sin³a = (3sina -sin3a)/4

Công thức biến đổi tổng thành tích

Cosa + cosb = 2cos (a+b)/2.cos (a-b)/2

Cosa – cosb = -2sin(a+b)2.sin (a-b)/2.

Sina+sinb = 2sin(a+b)/2.cos (a-b)/2

Công thức biến đổi tích thành tổng

Cosa.cosb = 1/2 [cos (a-b) +cos (a+b)]

Sina.sinb = 1/2 [cos(a-b)- cos(a+b)]

Sina.cosb = 1/2 [ sin (a-b) + sin (a+b)].

Vòng tròn lượng giác

duong tron luong giac 05Vòng tròn lượng giác, còn được gọi là đường tròn đơn vị, có bán kính R=1, tâm trùng với gốc tọa độ.

Trục hoành là trục cos, trục tung là trục sin.

Trục tan có gốc là điểm A và vuông góc với trục cos, trục cotan có gốc là điểm B vuông góc với trục sin.

Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm cùng chiều kim đồng hồ.

Cho góc lượng giác alpha như trong Hình, ta có: 

duong tron luong giac 06

duong tron luong giac 07

Xem thêm: Tổng hợp lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9, kèm bài tập vận dụng

Xem thêm: Tổng hợp về bảng đạo hàm cơ bản và đầy đủ nhất

Hướng dẫn sử dụng vòng tròn lượng giác

Biểu diễn góc (cung) trên đường tròn lượng giác là một kỹ năng quan trọng trong lượng giác. Thành thạo kỹ năng này sẽ giúp người học nhiều thuận lợi trong quá trình tổng hợp nghiệm hay loại nghiệm đối với các phương trình lượng giác có điều kiện.

Ta sẽ tìm hiểu góc

duong tron luong giac 08

được biểu diễn như thế nào trên đường tròn lượng giác?

duong tron luong giac 09

Dùng vòng tròn lượng giác trong vật lý 12 giải dạng bài về dao động điều hoà

Phương trình tổng quát của dao động điều hoà: x = A cos (ωt + φ)

 Khi đó chúng ta có phương trình tương ứng với một chuyển động tròn đều: Bán kính chính là biên độ dao động R=A.

 Vị trí ban đầu của vật khi biểu diễn trên đường tròn sẽ hợp với chiều dương trục ox một góc φ.

Vật có tốc độ quay trên đường tròn là ω.

Thời gian để chất điểm trên đường tròn có thể quay hết 1 vòng sẽ là 1 chu kỳ T.

Vật quay theo chiều ngược kim đồng hồ.

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình như sau x = 4cos(πt + π/3), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc v của chất điểm đạt giá trị -2π cm/s lần thứ 7 là:

  1. 6,5 s.          B. 4,5 s.          C. 2,5 s.          D. 6,75 s.

Lời giải:

Xác định “thời điểm” ⇒ dùng đường tròn đa điểm với 1 trục x,v : A = 4cm, vmax = 4π cm/s.

Thời điểm ban đầu của ly độ là Mox. Do vận tốc nhanh pha π/2 so với li độ tại thời điểm ban đầu của vận tốc là Mox, đứng trước Mox một góc π/2.

Vận tốc -2π cm/s sẽ tương ứng với M1 và M2 trên đường tròn.

N = 7 = 3.2 + 1 lần,

duong tron luong giac 10

duong tron luong giac 11

duong tron luong giac 12

Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và có tần số bằng 2 Hz. Ta lấy gần đúng π2 = 10. Thời gian ngắn nhất ta tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến khi thời điểm vật có gia tốc bằng 1,6 m/s2 là

  1. 1/6 s.          B. 1/12 s.          C. 1/24 s.          D. 1/18 s.

Lời giải:

Xác định “ khoảng thời gian” ⇒ dùng đến đường tròn đa trục.

f = 2 Hz ω = 4π rad/s, A = 2 cm, vmax = 8π cm/s, amax = 32 m/s2.

v = 4π cm/s tại M, a = 1,6 m/s2 tại N.

Từ M đến N có thể đi theo các cung như sau M1N1, M1N2, M2N1, M2N2.

Cung M1N1 thì ta có được Δφmin = π/6

Δtmin = 1/24 s.

Bài tập trắc nghiệm đường tròn lượng giác vật lý 

Câu 1. Cho một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với có phương trình x = 6cos(2πt) cm, với x đơn vị là cm và t đơn vị là giây. Tính từ thời điểm ban đầu, t = 0, vector vận tốc và vector gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox và trong khoảng thời gian gần nhất là

  1. 0,15 s < t < 0,25 s
  2. 0,20 s < t < 0,40 s
  3. 0,50 s < t < 0,75 s
  4. 0,30 s < t < 0,50 s

Câu 2. Cho một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ là 4 cm và tần số bằng 2 Hz. Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc là 8π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc là  cm/s2 là:

  1. 1/12 s     
  2. 1/48 s     
  3. 11/48 s     
  4. 11/24 s 

Câu 3. Cho một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và tần số bằng 2 Hz. Ta cho gần đúng π2 = 10. Hãy thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc là 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc là -3,2 m/s2 là bao lâu:

  1. 1/12 s     
  2. 1/3 s     
  3. 1/24 s     
  4. 1/6 s 

Câu 4. Cho một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ là 2 cm và tần số là 0,5 Hz. Lấy gần đúng π2 = 10. Trong một chu kì khoảng thời gian để vật có vận tốc nhỏ hơn π cm/s và gia tốc lớn hơn  cm/s2 bằng:

  1. 1/6 s     
  2. 2/3 s     
  3. 1/3 s     
  4. 1/2 s 

 

Đáp án 

Câu 1: C

Câu 2: B

Câu 3: C

Câu 4: C

Bài viết sau đã gửi đến bạn kiến thức về đường tròn lượng giác cũng như các dạng bài tập về đường tròn lượng giác. Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích được cho bạn trong việc học của mình. Đây là kiến thức trọng tâm quan trọng nên các bạn hãy lưu ý những kiến thức trên nhé!

 

Trả lời