Lý thuyết hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai lớp 9, 10

Chúng ta cùng tìm hiểu lý thuyết quan trọng của bài Hàm số bậc nhất và Hàm số bậc hai trong chương trình Đại số lớp 9, 10. Định nghĩa hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai là gì?  Tính chất, đồ thị hàm số và trả lời câu hỏi hàm số bậc nhất trong trang 46, 47, 48 sách giáo khoa toán 9.  

Lý thuyết về hàm số bậc nhất

Định nghĩa hàm số bậc nhất 

– Hàm số bậc nhất là hàm được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là những số cho trước và a ≠ 0.  

– Như vậy công thức hàm số bậc nhất là : y = ax + b 

– Ví dụ hàm số bậc nhất: y = 6x + 7b, y = 2x , y = -4x – 1, y = (1/2)x + 9…

Tính chất hàm số bậc nhất 

Hàm số bậc nhất y = ax + b  xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:

1. a) Đồng biến trên R khi a > 0
2. b) Nghịch biến trên R khi a < 0

Ví dụ: 

Hàm số y = -4x – 1 nghịch biến trên R vì có hệ số a là -4 < 0.

Hàm số y = x đồng biến trên R vì có hệ số a là 1 > 0.

Đồ thị hàm số bậc nhất

Sự biến thiên của hàm số bậc nhất: 

+ Tập xác định D = R

+ Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0.

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị của hàm số bậc nhất:

– Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng có hệ số góc bằng a và cắt trục hoành tại điểm A(-b/a; 0) và cắt trục tung tại điểm B(0, b). 

Lưu ý:

+ Nếu hệ số a = 0 => y = b là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.

+ Cho đường thẳng d có hệ số góc k, d đi qua điểm M(xo; yo), khi đó phương trình của đường thẳng d là y – yo = a(x – xo).

Ví dụ: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất của y = 3x + 6

Giải:

– Tập xác định D = R

Vì a = 3 > 0 suy ra hàm số đồng biến trên R.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số y = 3x + 6 đi qua A(2; 0) và B(-1, 3):

Trả lời câu hỏi Hàm số bậc nhất sgk trang 46, 47, 48 lớp 9

Trên đây là kiến thức tổng quát của hàm số bậc nhất y = ax  + b với (a ≠ 0). Để giúp các em hiểu rõ hơn, cũng như làm tốt bài tập toán, chúng tôi sẽ hướng dẫn các em trả lời những câu hỏi cơ bản trong sách giáo khoa toán 9 bài Hàm số bậc nhất. Mời các em theo dõi những nội dung sau đây. 

Câu 1 bài 2 trang 46 sgk toán 9 tập 1

Hãy điền vào chỗ trống (…) cho đúng

Sau 1 giờ, ô tô đi được: …

Sau t giờ, ô tô đi được: …

Sau t giờ, ô tô cách trung tâm Hà Nội là: s = …

Giải: 

Sau 1 giờ, ô tô đi được: 30 (km)

Sau t giờ, ô tô đi được: 30.t (km)

Sau t giờ, ô tô cách trung tâm Hà Nội là: s = 30.t – 8 (km)

Câu 2 bài 2 trang 47 sgk toán 9 tập 1

Tính các giá trị tương ứng của s khi cho t lần lượt lấy các giá trị 1 giờ; 2 giờ; 3 giờ; 4 giờ; … rồi giải thích tại sao s là hàm số của t?

Giải: 

Với t = 1, ta có s = 30.t – 8 = 30.1 – 8 = 22 (km)

Với t = 2, ta có s = 30.t – 8 = 30.2 – 8 = 52 (km)

Với t = 3, ta có s = 30.t – 8 = 30.3 – 8 = 82 (km)

Với t = 4, ta có s = 30.t – 8 = 30.4 – 8 = 112 (km)

s là hàm số của t vì đại lượng s phụ thuộc vào đại lượng thay đổi t và với mỗi giá trị của t ta chỉ xác định được một giá trị tương ứng của s.

Câu 3 bài 2 trang 47 sgk toán 9 tập 1

 Cho x hai giá trị bất kì x1, x2, sao cho x1 < x2. Hãy chứng minh f(x1) < f(x2) rồi rút ra kết luận hàm số đồng biến trên R.

Giải:

Do x1 < x2 nên x1 – x2 < 0

Ta có: f(x1 ) – f(x2 )=(3×1 + 1) – (3×2 + 1) = 3(x1 – x2 ) < 0

<=>  f(x1 ) < f(x2 )

Vậy hàm số y = 3x + 1 đồng biến trên R.

Câu 4 bài 2 trang 47 sgk toán 9 tập 1

Cho ví dụ về hàm số bậc nhất trong các trường hợp sau:

a) Hàm số đồng biến

b) Hàm số nghịch biến.

Giải:

a) Hàm số đồng biến là y = x + 5

b) Hàm số nghịch biến là y = -0,5x + 9

Giải bài tập 8 trang 48 sgk toán 9 tập 1

 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các các hệ số a, b của chúng và xét xem hàm số bậc nhất này đồng biến hay nghịch biến?

a) y = 1 – 5x       

b) y = -0,5x

c) y = √2(x – 1) + √3        

d) y = 2×2 + 3

Giải:

a) y = 1 – 5x là hàm số bậc nhất vì có a = -5, b = 1, nghịch biến vì a = -5 < 0. 

b) y = -0,5x là hàm số bậc nhất vì có a = -0,5, b = 0, nghịch biến vì a = -0,5 < 0. 

c) y = √2(x – 1) + √3 = √2 x + √3 – √2 là hàm số bậc nhất có a = √2, b = √3 – √2, đồng biến vì a = √2 > 0. 

d) y = 2×2 + 3 không phải là hàm số bậc nhất (vì số mũ của x là 2).

Giải bài tập 9 trang 48 sgk toán 9 tập 1

Cho hàm số bậc nhất y = (m – 2)x + 3. Tìm các giá trị của m để hàm số:

a) Đồng biến

b) Nghịch biến

Giải:

– Lưu ý bài toán tìm tham số m để thỏa mãn điều kiện là dạng toán rất hay gặp trong đề thi. Các em nên chú ý cách giải dạng toán này.

– Hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0).

2. a) y = (m – 2)x + 3 đồng biến khi m – 2 > 0 <=> m > 2. 

Vậy với m > 2 thì hàm số đồng biến.

2. b) y = (m – 2)x + 3 nghịch biến khi m – 2 < 0 <=>  m < 2. 

Vậy với m < 2 thì hàm số nghịch biến.

Giải bài tập 10 trang 48 sgk toán 9 tập 1

Một hình chữ nhật có các kích thước là 20cm và 30cm. Người ta bớt mỗi kích thước của nó đi x (cm) được hình chữ nhật mới có chu vi là y (cm). Hãy lập công thức tính y theo x.

Giải:

– Gọi hình chữ nhật ban đầu ABCD có kích thước AB = 30cm; BC = 20cm.

– Sau khi bớt các kích thước của hình chữ nhật đi x (cm), ta có hình chữ nhật mới là A’B’C’D’ có:

A’B’ = 30 – x

B’C’ = 20 – x

Gọi y là chu vi của hình chữ nhật A’B’C’D’, ta có:

y = 2[(30 – x) + (20 – x)]

=> y = 2(50 – 2x)

=> y = -4x + 100 (cm).

Giải bài tập 11 trang 48 sgk toán 9 tập 1

Hãy biểu diễn các điểm sau trên mặt phẳng tọa độ: A(-3; 0), B(-1; 1), C(0; 3), D(1; 1), E(3; 0), F(1; -1), G(0; 3), H(-1; -1).

Giải:

Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Giải bài tập 12 trang 48 sgk toán 9 tập 1

Cho hai hàm số bậc nhất y = ax + 3. Tìm hệ số a, biết rằng khi x = 1 thì y = 2,5.

Giải:

Thay x = 1, y = 2,5 vào y = ax + 3 ta được như sau: 

2,5 = a.1 + 3

=> a = 2,5 – 3 = -0,5

Vậy kết luận hệ số a cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài là a = -0,5.

Giải bài tập 13 trang 48 sgk toán 9 tập 1

Với những giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất?

Giải:

Xem thêm: Bài giảng Hàm số bậc nhất: 

Giải bài tập 14 trang 48 sgk toán 9 tập 1

Hàm số bậc nhất y = (1 – √5)x – 1.

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?

b) Tính giá trị của y khi x = 1 + √5.

c) Tính giá trị của x khi y = √5

Giải:

a) Ta có a = 1- √5 < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên R.

b) Khi x = 1 + √5 ta có:

y = (1 – √5).(1 + √5) – 1 = (1 – 5) – 1 = -5

c) Khi y = √5 ta có:

√5 = (1 – √5)x – 1

=> √5 + 1 = (1 – √5)x

=> x = (1 + √5)/ (1 – √5).

Bài tập tự luyện:

Ba làng A, B, C nằm trên cùng quốc lộ, B nằm giữa A và C. Một người đi bộ theo hướng từ B đến C với vận tốc 4km/h. Hai làng A và B cách nhau 5km.

a) Hỏi khi đi được 3 giờ thì người đi bộ cách A bao nhiêu km?

b) Hỏi khi đi được x giờ thì người đi bộ cách A bao nhiêu km?

c) Gọi y là khoảng cách từ người đi bộ đến A. Hãy viết công thức biểu diễn khoảng cách y qua biến số x. Hỏi y có phải là một hàm số bậc nhất của x hay không? 

Lý thuyết về hàm số bậc hai

Sau khi tìm hiểu hàm số bậc nhất y = ax + b thì chúng ta tiếp tục đến với nội dung tiếp theo là hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c. Các bạn cần phải nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai này bởi vì dạng toán về hàm số bậc hai sẽ kéo dài xuyên suốt trong chương trình cấp 3 và cả đại học.

Định nghĩa hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có tập xác định D = R, biệt thức Δ = b2 – 4ac.

Tính chất của hàm số bậc hai

– Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có tính chất sau:

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -b/2a). 

+ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng (-b/2a; +∞). 

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -b/2a). 

+ Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (-b/2a; +∞).

– Bảng biến thiên của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)  như sau:

Đồ thị của hàm số bậc hai

– Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là đường  parabol có:

+ đỉnh I có tọa độ (-b/2a; -Δ/4a)

+ trục đối xứng là đường thẳng x = -b/2a.

+ Nếu a > 0 thì đồ thị parabol hướng lên trên 

+ Nếu a < 0 thì đồ thị parabol hướng xuống dưới. 

+ Giao điểm với trục tung là điểm A có tọa độ (0; c)

+ Giao điểm với hoành độ là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0.

Như vậy, qua bài viết này các em đã tổng quát kiến thức về hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Nhắc lại: hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b với a khác 0; hàm số bậc hai có dạng y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Ở bài viết sau, các em sẽ được tìm hiểu về những dạng toán liên quan đến hàm số bậc nhất hay gặp và phương pháp giải. Các em hãy chờ đón tại lessonopoly nhé.