Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập áp dụng

Phân tích đa thức thành nhân tử là phần kiến thức quan trọng trong chương trình đại số lớp 8 nói riêng và chương trình toán học nói chung. Với kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử, các em học sinh có thể ứng dụng nó để tính toán nhiều dạng thức phức tạp và áp dụng trong những môn học khác. Bài viết này sẽ tổng hợp những phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có trong chương trình toán học lớp 8 cơ bản và nâng cao.

Học lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử
Học lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp:

–   Tìm nhân tử chung trong đa thức. 

–   Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.

–   Đặt nhân tử chung ra ngoài, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (bao gồm cả dấu của chúng).

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử cho bài tập

  1. a) 28a2b2 – 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab – 3b + 2a)
  2. b) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2 – 5y)
  3. c) xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x + 1)(x2 – x + 1)

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức

Phương pháp:

– Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và biến đổi đa thức về dạng giống của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung.

– Nên chú ý là cần thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để làm bài tập. 

Học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ: https://lessonopoly.org/7-hang-dang-thuc-dang-nho

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

  1. a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x – 2)(3x + 2)
  2. b) 8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)
  3. c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Nhóm hạng tử là phương pháp rất hay được sử dụng với bài toán khó
Nhóm hạng tử là phương pháp rất hay được sử dụng với bài toán khó

Phương pháp:

–   Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm với nhau.

–   Áp dụng cùng lúc với các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử 

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a)2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)

b)x2  – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 – 42 = ( x – y – 4)( x – y + 4)

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt hạng tử hoặc tách hạng tử

Phương pháp:

– Bằng cách thêm bớt hạng tử để xuất hiện dạng giống hằng đẳng thức hoặc để xuất hiện hạng tử có thể làm đặt thành nhân tử chung. 

– Cách làm này học sinh cần linh hoạt với nhiều trường hợp, nếu trong đa thức thiếu một yếu tố nữa là giống hằng đẳng thức thì có thể nhận ra ngay và áp dụng phương pháp tách và thêm bớt hạng tử. 

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

  1. a) x4 + 4 = x4 + (4x2 – 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – 4x2 = (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 + 2x). 
  2. b) 3x2 + 8x + 4 = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x+2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2).

Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp: Sử dụng nhiều phương pháp để giải bài toán:

– Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung

– Sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

– Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

  1. a) 3xy2 – 6xy + 3x

= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)

= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức)

  1. b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

= 2((x2 + 2x + 1) – y2) (đặt nhân tử chung)

= 2 ((x + 1)2 – y2) (dùng hằng đẳng thức).

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y) (dùng hằng đẳng thức).

Bài tập vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử

Vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập dưới đây
Vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập dưới đây

Bài 39 trang 19, SGK lớp 8

Phân tích đa thức thành nhân tử:

  1. a) 3x – 6y
  2. b)
  3. c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2
  4. d)
  5. e) 10x(x – y) – 8y(y-x)

Lời giải:

  1. a) 3x – 6y = 3(x-2y)
  2. b)
  3. c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy).
  4. d) 
  5. e) 10x(x – y) – 8y(y – x) 

ta thấy y – x = -(x – y)

= 10x(x – y) – 8y[-(x – y)] =  10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x -y)(5x +4y).

Bài 40 trang 19, SGK lớp 8

Tính giá trị biểu thức sau: 

Lưu ý: Với dạng toán này cần phân tích hạng tử để xuất hiện nhân tử chung. 

  1. a) 15.91,5 + 150.0,85
  2. b) x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2001 và y = 1999

Lời giải:

  1. a) 15.91,5 + 150.0,85

= 15.91,5 + 15.10.0,85

= 15.91,5 + 15.8,5

= 15(91,5 + 8,5)

= 15.100

= 1500

  1. b) x(x – 1) – y(1 – x)

= x(x – 1) – y[–(x – 1)]

= x(x – 1) + y(x – 1)

= (x – 1)(x + y)

Tại x = 2001, y = 1999, giá trị biểu thức bằng:

(2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000

Bài 41 trang 19, SGK lớp 8

Tìm x, biết:

  1. a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
  2. b) x3 – 13x = 0

Lời giải:

  1. a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

<=> 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

(Có x – 2000 là nhân tử chung)

<=> (x – 2000).(5x – 1) = 0

<=> x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0

+ x – 2000 = 0 x = 2000

+ 5x – 1 = 0 5x = 1 x = 1/5.

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn là x = 2000 và x = 1/5.

  1. b) x3 = 13x

<=> x3 – 13x = 0

<=> x.x2 – x.13 = 0

(Có nhân tử chung x)

<=> x(x2 – 13) = 0

<=> x = 0 hoặc x2 – 13 = 0

+ x2 – 13 = 0 x2 = 13 x = √13 hoặc x = –√13

Vậy có ba giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42 trang 19, SGK lớp 8

Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên).

Lời giải:

Có : 55n + 1 – 55n

= 55n.55 – 55n

= 55n(55 – 1)

= 55n.54

Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với mọi số tự nhiên n.

Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54.

Bài 43 trang 20, SGK lớp 8

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

phan tich da thuc thanh nhan tu 4

Lời giải:

  1. a) x2 + 6x + 9

= x2 + 2.x.3 + 32

(Xuất hiện hằng đẳng thức (1))

= (x + 3)2

  1. b) 10x – 25 – x2

= –(–10x + 25 + x2)

= –(25 – 10x + x2)

= –(52 – 2.5.x + x2)

(Xuất hiện hằng đẳng thức (2) trong ngoặc)

= –(5 – x)2

phan tich da thuc thanh nhan tu 5

Bài 44 trang 20, SGK lớp 8

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

phan tich da thuc thanh nhan tu 6

Lời giải:

phan tich da thuc thanh nhan tu 7

  1. b) (a + b)3 – (a – b)3

(Xuất hiện hằng đẳng thức (7))

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2]

= (a + b – a + b)(a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)

  1. c) (a + b)3 + (a – b)3

(Xuất hiện hằng đẳng thức (6))

= [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2]

= [(a + b) + (a – b)][(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)]

= (a + b + a – b)(a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)

= 2a.(a2 + 3b2)

  1. d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

= (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3

(Xuất hiện hằng đẳng thức (4))

= (2x + y)3

  1. e) –x3 + 9×2 – 27x + 27

= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33

(Xuất hiện Hằng đẳng thức (4))

= (–x + 3)3

= (3 – x)3

Bài 45 trang 20, SGK lớp 8

Tìm x, biết:

phan tich da thuc thanh nhan tu 8

Lời giải:

  1. a) Cách 1:

phan tich da thuc thanh nhan tu 9

Cách 2:

2 – 25x2 = 0

<=> (√2)2 – (5x)2 = 0

(Xuất hiện hằng đẳng thức (3))

<=> (√2 – 5x)(√2 + 5x) = 0

<=> √2 – 5x = 0 hoặc √2 + 5x = 0

+ √2 – 5x = 0 5x = √2 x = √2/5

+ √2 + 5x = 0 5x = –√2 x = –√2/5

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn là: phan tich da thuc thanh nhan tu 10

phan tich da thuc thanh nhan tu 11

Bài 46 trang 21, SGK lớp 8

Tính nhanh:

  1. a) 732 – 272 
  2. b) 372 – 132 
  3. c) 20022 – 22

Lời giải:

  1. a) 732 – 272

= (73 + 27)(73 – 27)

= 100.46

= 4600

  1. b) 372 – 132

= (37 + 13)(37 – 13)

= 50.24

= 100.12

= 1200

  1. c) 20022 – 22

= (2002 + 2)(2002 – 2)

= 2004 .2000

= 4008000

Bài 47 trang 22, SGK lớp 8

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

  1. a) x2 – xy + x – y
  2. b) xz + yz – 5(x + y)
  3. c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

Lời giải:

  1. a) Cách 1: Nhóm hai hạng tử thứ 1 và thứ 2, hạng tử thứ 3 và thứ 4

x2 – xy + x – y

= (x2 – xy) + (x – y)

(Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là x)

= x(x – y) + (x – y)

(Xuất hiện nhân tử chung x – y)

= (x + 1)(x – y)

Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và thứ 4

x2 – xy + x – y

= (x2 + x) – (xy + y)

(nhóm thứ nhất có nhân tử chung là x ; nhóm thứ hai có nhân tử chung là y)

= x.(x + 1) – y.(x + 1)

(Xuất hiện nhân tử chung x + 1)

= (x – y)(x + 1)

  1. b) xz + yz – 5(x + y)

= (xz + yz) – 5(x + y)

(Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là z ; nhóm thứ hai có nhân tử chung là 5)

= z(x + y) – 5(x + y)

(Xuất hiện nhân tử chung là x + y)

= (z – 5)(x + y)

  1. c) Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:

3x2 – 3xy – 5x + 5y

= (3x2 – 3xy) – (5x – 5y)

(Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là 3x ; nhóm thứ hai có nhân tử chung là 5)

= 3x(x – y) – 5(x – y)

(Xuất hiện nhân tử chung là (x – y))

= (x – y)(3x – 5)

Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4:

3x2 – 3xy – 5x + 5y

= (3x2 – 5x) – (3xy – 5y)

(Nhóm thứ nhất có nhân tử chung là x, nhóm thứ hai có nhân tử chung là y)

= x.(3x – 5) – y.(3x – 5)

(Xuất hiện nhân tử chung 3x – 5)

= (x – y).(3x – 5).

Bài 48 trang 20, SGK lớp 8

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

  1. a) x2 + 4x –y2 + 4
  2. b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
  3. c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2

Lời giải:

  1. a) Nhận thấy x2 + 4x + 4 là hằng đẳng thức nên ta nhóm với nhau.

x2 + 4x – y2 + 4

= (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2 (Xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

  1. b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)

(Nhận thấy xuất hiện x2 + 2xy + y2 là hằng đẳng thức nên ta nhóm với nhau)

= 3[(x2 + 2xy + y2) – z2]

= 3[(x + y)2 – z2]

= 3(x + y – z)(x + y + z)

  1. c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2

(Nhận thấy x2 – 2xy + y2 và z2 – 2zt + t2 là các hằng đẳng thức)

= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2)

= (x – y)2 – (z – t)2 (xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= [(x – y) – (z – t)][(x – y) + (z – t)]

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 49 trang 20, SGK lớp 8

Tính nhanh:

  1. a) 37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5
  2. b) 452 + 402 – 152 + 80.45

Lời giải:

  1. a) 37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7.5 + 3,5.37,5

(Hạng tử đầu tiên và cuối cùng đều có nhân tử 37,5; hai hạng tử giữa đều có nhân tử 7,5)

= (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – (7,5.3,4 + 6,6.7,5)

= 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)

= 37,5.10 – 7,5.10

= 375 – 75 = 300

  1. b) 452 + 402 – 152 + 80.45

= 452 + 80.45 + 402 – 152

= 452 + 2.45.40 + 402 – 152

= (45 + 40)2 – 152

= 852 – 152

= (85 – 15)(85 + 15)

= 70.100 = 7000

Bài 50 trang 23, SGK lớp 8

Tìm x, biết:

  1. a) x(x – 2) + x – 2 = 0
  2. b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

Lời giải:

  1. a) x(x – 2) + x – 2 = 0

(Xuất hiện nhân tử chung x – 2)

<=> (x – 2)(x + 1) = 0

<=> x – 2 = 0 hoặc x + 1 = 0

<=> x = 2 hoặc x = – 1

Vậy x = – 1 hoặc x = 2.

  1. b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

<=> 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

(Xuất hiện nhân tử chung x – 3)

<=> (x – 3)(5x – 1) = 0

<=> x – 3 = 0 hoặc 5x – 1= 0

+ x – 3 = 0 <=> x = 3

+ 5x – 1 = 0 <=> 5x = 1 <=> x = 1/5

Vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51 trang 24, SGK lớp 8

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

  1. a) x3 – 2x2 + x.
  2. b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
  3. c) 2xy – x2 – y2 + 16

Lời giải:

  1. a) x3 – 2x2 + x

= x.x2 – x.2x + x (Xuất hiện nhân tử chung là x)

= x(x2 – 2x + 1) (Xuất hiện hằng đẳng thức (2))

= x(x – 1)2

  1. b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 (có nhân tử chung là 2)

= 2.(x2 + 2x + 1 – y2) (Xuất hiện x2 + 2x + 1 là hằng đẳng thức)

= 2[(x2 + 2x + 1) – y2]

= 2[(x + 1)2 – y2] (Xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

  1. c) 2xy – x2 – y2 + 16 (Có 2xy ; x2 ; y2, ta liên tưởng đến bất đẳng thức (1) hoặc (2))

= 16 – (x2 – 2xy + y2)

= 42 – (x – y)2 (xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= [4 – (x – y)][4 + (x – y)]

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24, SGK lớp 8

Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

Ta có:

(5n + 2)2 – 4

= (5n + 2)2 – 22

= (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)

= 5n(5n + 4)

Vì 5 5 nên 5n(5n + 4) 5 n Ζ.

Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết cho 5 với n Ζh2

Bài 53 trang 24, SGK lớp 8

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

  1. a) x2 – 3x + 2
  2. b) x2 + x – 6
  3. c) x2 + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử – 3x = – x – 2x thì ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách 2 = – 4 + 6, khi đó ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

Lời giải:

Cách 1: Tách một hạng tử thành tổng hai hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

x2 – 3x + 2

= x2 – x – 2x + 2 (Tách –3x = – x – 2x)

= (x2 – x) – (2x – 2)

= x(x – 1) – 2(x – 1) (Có x – 1 là nhân tử chung)

= (x – 1)(x – 2)

Hoặc: x2 – 3x + 2

= x2 – 3x – 4 + 6 (Tách 2 = – 4 + 6)

= x2 – 4 – 3x + 6

= (x2 – 22) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) (Xuất hiện nhân tử chung x – 2)

= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

  1. b) x2 + x – 6

= x2 + 3x – 2x – 6 (Tách x = 3x – 2x)

= x(x + 3) – 2(x + 3) (có x + 3 là nhân tử chung)

= (x + 3)(x – 2)

  1. c) x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)

= x2 + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2) (Có x + 2 là nhân tử chung)

= (x + 2)(x + 3)

Cách 2: 

phan tich da thuc thanh nhan tu 12

phan tich da thuc thanh nhan tu 13

phan tich da thuc thanh nhan tu 14

Luyện tập

Bài 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử

phan tich da thuc thanh nhan tu 15

Bài 2: phân tích đa thức sau thành nhân tử

phan tich da thuc thanh nhan tu 16

Bài 3: phân tích đa thức sau thành nhân tử

phan tich da thuc thanh nhan tu 17

Bài 4: phân tích đa thức sau thành nhân tử

phan tich da thuc thanh nhan tu 18

Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử

phan tich da thuc thanh nhan tu 19

Bài 6: phân tích đa thức sau thành nhân tử

phan tich da thuc thanh nhan tu 20

Bài 7: phân tích đa thức sau thành nhân tử

phan tich da thuc thanh nhan tu 21

Với những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử phức tạp hơn, các em học sinh phải sử dụng kết hợp nhiều phương pháp để giải. Nhìn chung kiến thức phần này không quá khó, chỉ cần các em luyện tập giải bài tập nhiều thì sẽ nắm rõ. Chúc các em học tốt. Truy cập lessonopoly để cập nhật những bài học bổ ích nhất

2 thoughts on “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập áp dụng

  1. Pingback: Lý Thuyết Và Bài Tập Về Chuyển động Tròn đều Vật Lý 10 | Lessonopoly

  2. Pingback: Phép Tịnh Tiến Và Các Dạng Bài Tập Về Phép Tịnh Tiến | Lessonopoly

Trả lời