Phép tịnh tiến và các dạng bài tập về phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến là một trong những phép được ứng dụng rất nhiều trong các bài tập toán hình học. Thế nhưng rất nhiều học sinh nhầm lẫn và hiểu sai về phép dời hình này. Bài viết sau đây lessonopoly sẽ gửi đến bạn kiến thức cũng như những dạng bài tập liên quan đến phép tịnh tiến. Các bạn hãy cùng theo dõi nhé!

Phép tịnh tiến là phép dời hình nên có đầy đủ tính chất của một phép dời hình
Phép tịnh tiến là phép dời hình nên có đầy đủ tính chất của một phép dời hình

Định nghĩa về phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng cho vector v. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho vecto MM’ bằng vectơ. được gọi là phép tịnh tiến theo vector v

Ký hiệu khi thể hiện phép tịnh tiến
Ký hiệu khi thể hiện phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến theo vector – không là phép đồng nhất.

Hãy theo dõi video sau đây để hiểu hơn về phép tịnh tiến nhé!

Các tính chất của phép tịnh tiến

Dưới đây là những tính chất của phép tịnh tiến:

Tính chất thứ 1 của phép tịnh tiến
Tính chất thứ 1 của phép tịnh tiến

* Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

phep tinh tien 04

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ BC.

Hướng dẫn giải:

phep tinh tien 05

phep tinh tien 06

Vậy ảnh của tam giác ABC là tam giác DCE.

Xem thêm: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập áp dụng

Xem thêm: Công thức tính diện tích, tính chu vi tam giác thường và các tam giác đặc biệt chính xác nhất

Hệ quả:

Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của các điểm tương ứng.

Biến 1 tia thành 1 tia.

Biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng có độ dài bằng nó.

Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó (Nếu vecto chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vecto tịnh tiến thì biến đường thẳng thành đường thẳng trùng với nó; nếu vecto tịnh tiến không cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng thì biến thành đường thẳng song song).

Biến 1 tam giác thành 1 tam giác bằng nó (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp biến thành các điểm tương ứng).

Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Biểu thức tọa độ của của phép tịnh tiến được xác định như sau:

phep tinh tien 07

Một số dạng bài tập về phép tịnh tiến và phương pháp giải 

Dạng 1: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường thẳng d qua một phép tịnh tiến theo vectơ v .

1) Tìm ảnh của đường thẳng d qua một phép tịnh tiến theo vectơ v .

Phương pháp:

+ Lấy M trên d

+ Tìm ảnh M’ của M

+ d’ là đường thẳng qua M’ và song song hoặc trùng d.

phep tinh tien 08

2) Tìm tạo ảnh của đường thẳng d qua một phép tịnh tiến theo vectơ v .

Phương pháp:

+ Lấy M’ trên d’.

+ Tìm M sao cho M’ là ảnh của M.

+ d là đường thẳng qua M và song song hoặc trùng d.

phep tinh tien 09

Dạng 2. Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua một phép tịnh tiến

1) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua một phép tịnh tiến theo vectơ v .

Phương pháp

+ Tìm tâm I và bán kính R’ của đường tròn (C).

+ Tìm ảnh I’ của I qua phép tịnh tiến này.

+ Đường tròn (C’) là ảnh của (C) là đường tròn có tâm I’ và bán kính .

Ví dụ. Cho đường tròn (C) có tâm I (-2; 3)  và bán kính . Viết phương trình đường tròn (C) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ u (2; -3).

Lời giải.

(C) có tâm I (-2; 3)  và bán kính R = 5

phep tinh tien 10

Dạng 3. Tìm ảnh, tạo ảnh của một đường cong (khác  các dạng trên) qua một phép tịnh tiến

1) Tìm ảnh của một đường cong (P) qua một phép tịnh tiến theo u (a; b)

Phương pháp

phep tinh tien 11

phep tinh tien 12

2) Tìm tạo ảnh của một đường cong (P) qua một phép tịnh tiến theo vectơ u (a; b)

phep tinh tien 13

phep tinh tien 14

Dạng 4. Xác định phép tịnh tiến

phep tinh tien 15

phep tinh tien 16

Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến parabol (Q) thành parabol (P), theo vectơ u (1;1).

Các bài toán chứng minh

Phương pháp thực hiện:

Để giải loại bài toán này, ta thường thực hiện theo hai bước:

– Bước 1: Thực hiện một phép dời hình thích hợp.

– Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép dời hình đó để giải quyết yêu cầu của bài toán.

Việc chọn vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến hoặc tâm quay O của phép quay phụ thuộc vào giả thiết của bài toán. Thường thì trong dữ kiện bài toán hoặc trong tính chất của hình đòi hỏi phải thiết lập hoặc điều kiện đòi hỏi ở hình cần dựng đã xuất hiện những yếu tố có mối liên hệ đáng chú ý đến một phép dời hình nào đó.Từ đó, ta vận dụng để giải quyết bài toán.

Các bài toán quỹ tích

Phương pháp thực hiện:

Giả sử ta cần tìm quỹ tích những điểm M có tính chất a. Với một phép dời hình f nào đó, mỗi điểm M có tính chất a sẽ biến thành điểm M’ có tính chất a’ và ngược lại, mỗi điểm M’ có tính chất a’ sẽ biến thành điểm M có tính chất a. Việc tìm quỹ tích những điểm M’ có tính chất a’ thường dễ dàng hơn so với trực tiếp tìm quỹ tích điểm M. Khi đó, nếu quỹ tích những điểm M’ là hình (H’) thì quỹ tích điểm M sẽ là hình (H), tạo ảnh của hình (H’) qua f.

Khi dùng phép dời hình để giải bài toán quỹ tích, ta chỉ cần làm phần thuận vì phép dời hình là phép biến đổi 1-1. Và để tìm quỹ tích những điểm M, ta thực hiện theo 2 cách:

Cách 1:

– Bước 1: Chỉ ra phép dời hình thích hợp biến điểm M’ thành điểm M.

– Bước 2: Xác định được quỹ tích những điểm M’(dễ dàng).

– Bước 3: Suy ra quỹ tích những điểm M là ảnh của quỹ tích những điểm M’ qua phép dời hình nói trên.

Cách 2:

– Bước 1: Bằng thực nghiệm, ta  dự đoán về đường cong quỹ tích. (Dựng một số

hữu hạn điểm M là điểm di động mà ta cần tìm quỹ tích, thông thường  nếu thực nghiệm 3 điểm di động của M nếu thấy 3 ảnh M’ thẳng hàng thì dự đoán quỹ tích là đường thẳng, nếu 3 ảnh M’ không thẳng hàng thì quỹ tích thường là đường tròn). Giả sử đó là đường cong (C).

– Bước 2: Xác định đường cong (C’) sao cho tồn tại một phép dời hình f  biến (C’) thành (C).

– Bước 3: Xét điểm M thuộc (C), ta thử xác định M’ là tạo ảnh của M qua phép dời hình f, nếu thành công thì bài toán được giải quyết. Ngược lại, ta thử một dự đoán khác.

Qua bài viết trên bạn đã hiểu về phép tịnh tiến cũng như những dạng bài tập về phép tịnh tiến rồi đúng không? Phép tịnh tiến là một phép dời hình quan trọng được ứng dụng rất nhiều trong các bài tập toán. Vì vậy bạn hãy lưu ý những kiến thức trên nhé!

Trả lời