Số chính phương là gì? Những bài tập liên quan đến số chính phương

Số chính phương là thuật ngữ rất hay gặp trong các bài tập môn toán đại số. Trong toán có rất nhiều thuật ngữ và ngay cả chính bạn cũng có nhiều lần nhầm lẫn giữa các khái niệm đúng không. Hãy tham khảo bài viết sau đây để biết được số chính phương là gì và những kiến thức thú vị khác liên quan đến số chính phương. Các bạn hãy cũng theo dõi nhé!

Số chính phương là gì? Làm thế nào để xác định được số chính phương?
Số chính phương là gì? Làm thế nào để xác định được số chính phương?

Số chính phương là gì?

Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.

Hay hiểu đơn giản, số chính phương là một số tự nhiên có căn bậc hai cũng là một số tự nhiên. Số chính phương về bản chất là bình phương của một số tự nhiên nào đó. Số chính phương là diện tích của một hình vuông với cạnh là số nguyên kia.

Với số nguyên bao gồm các số nguyên dương, nguyên âm và số 0.

Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu như nó là bình phương của một số chẵn, ngược lại. Một số chính phương được gọi là số chính phương lẻ nếu như nó là bình phương của một số lẻ.

Hãy tham khảo video dưới đây để hiểu hơn về số chính phương!

 

Tính chất

Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9, nếu các số tận cùng là 2,3,7,8 thì không phải là số chính phương.

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 4n hoặc 4n + 1, không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n € N).

Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 3n hoặc 3n + 1, không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (với n € N).

Số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc 3; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Ví dụ: 9(3)2;  36 (6)2; là số chính phương.

Công thức để tính hiệu của hai số chính phương:

a^2 – b^2 = (a+b)(a-b).

Ví dụ:

62 – 32 = (6+3)(6-3) = 9.3 = 27.

Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ.

Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p^2.

Ví dụ:

Số chính phương 36 (6^2) chia hết cho 2 => 36 chia hết cho 4 (2^2)

Số chính phương 144 (12^2) chia hết cho 3 (144:3=48) => 144 chia hết cho 9 (144:9=16)

Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1 = 1, 4 = 1 + 3, 9 = 1 + 3 + 5, 16 = 1 + 3 + 5 + 7, 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9, …v.v

Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên
Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên

Ví dụ số chính phương

Các chuyên đề toán ở trung học đã có rất nhiều dạng bài tập về số chính phương. Dựa theo khái niệm và tính chất phía trên, ta có một số ví dụ về số chính phương như sau:

Các số 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 144, 225, 576 đều là số chính phương.

4= 2^2 là một số chính phương chẵn

9= 3^2 là một số chính phương lẻ

16= 4^2 là một số chính phương chẵn

25 = 5^2 là một số chính phương lẻ

36= 6^2 là một số chính phương chẵn

225 = 15^2 là một số chính phương lẻ

289 = 17^2 là một số chính phương lẻ

576 = 24^2 là một số chính phương chẵn

1.000.000= 1.000^2 là một số chính phương chẵn.

Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9
Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9

Một số bài toán mẫu

Chứng minh một số không phải là số chính phương

Ví dụ 1: Chứng minh số n = 2004^2 + 2003^2 + 2002^2 – 2001^2 không phải là số chính phương.

Lời giải: Ta thấy chữ số tận cùng của các số 2004^2, 2003^2, 2002^2, 2001^2 lần lượt là 6,9,4,1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.

Ví dụ 2: Chứng minh 1234567890 không phải là số chính phương.

Lời giải: Ta thấy số 1234567890 chia hết cho 5 vì chữ số tận cùng là 0 nhưng lại không chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng là 90. Vì vậy, số 1234567890 không phải là số chính phương.

Các dạng số chính phương

Số chính phương chỉ có thể có một trong 4 dạng:

4n

4n + 1

3n

3n + 1

Số chính phương không có dạng 4n+2               4n+3               3n+2

Đặc điểm của số chính phương

Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, mà không bao giờ tận cùng là 2, 3, 7, 8,…

Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc 3; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Ví dụ: 81:8 = 10 dư 1.

Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a^2 – b^2= (a+b)(a-b).

Ví dụ: 6^2 – 3^2 = (6+3)(6-3) = 9.3 = 27.

Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ.

Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2.

Ví dụ: số chính phương 36 (6^2) chia hết cho 2 => 36 chia hết cho 4 (2^2)

Số chính phương 144 (12^2) chia hết cho 3 (144:3=48) => 144 chia hết cho 9 (144:9=16)

 

Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1 = 1, 4 = 1 + 3, 9 = 1 + 3 + 5, 16 = 1 + 3 + 5 + 7, 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9, …v.v

Một số bài toán chứng minh liên quan đến số chính phương

Nhìn chữ số tận cùng

Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9. Từ đó có thể giải được bài toán kiểu sau đây :

Bài toán 1 

Chứng minh số : n = 2004^2 + 2003^2 + 2002^2 – 2001^2  không phải là số chính phương.

Lời giải

Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.

Chú ý 

 Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa :

Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p^2.

Bài toán 2 

Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.

Lời giải 

Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.

Chú ý 

Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương.

so chinh phuong la gi 05

Bài toán 3 

Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.

Lời giải 

Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương.

 

Dùng tính chất của số dư

Bài toán 4 

Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương.

Chắc chắn các em sẽ dễ bị “choáng”. Vậy ở bài toán này ta sẽ phải nghĩ tới điều gì ? Vì cho giả thiết về tổng các chữ số nên chắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9. Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” như bài toán 3. Thế thì ta nói được điều gì về số này ? Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2. Từ đó ta có lời giải.

Lời giải

Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 mà thôi (coi như bài tập để các em tự chứng minh !). Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương.

Tương tự có thể áp dụng và giải các bài toán bên dưới:

Bài toán 5 

Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương.

Bài toán 6 

Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính phương.

Bài toán 7

Chứng minh số :   n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số chính phương.

Nhận xét 

Nếu xét n chia cho 3, các em sẽ thấy số dư của phép chia sẽ là 1, thế là không “bắt chước” được cách giải của các bài toán 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xét chữ số tận cùng các em sẽ thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không làm “tương tự” được như các bài toán 1 ; 2. Số dư của phép chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đó chính là 3. Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư như thế nào nhỉ ? Các em có thể tự chứng minh và được kết quả : số dư đó chỉ có thể là 0 hoặc 1. Như vậy là các em đã giải xong bài toán 7.

“Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp” Các em có thể thấy rằng : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n^2 < k < (n + 1)^2 thì k không là số chính phương. Từ đó các bạn có thể xét được các bài toán sau :

Bài toán 8 

Chứng minh số 4014025 không là số chính phương.

Nhận xét 

Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Thế là tất cả các cách làm trước đều không vận dụng được. Các em có thể thấy lời giải theo một hướng khác.

Lời giải 

Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042. Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương.

Bài toán 9 

Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0.

Nhận xét

Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận ra A + 1 là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8). Các em lớp 6, lớp 7 cũng có thể chịu khó đọc lời giải.

Lời giải

Ta có : A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2.

Mặt khác : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A.

Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2. => A không là số chính phương.

Bài toán 10 

Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = n4 – 2n3 + 3n2 – 2n là số chính phương.

Gợi ý : Nghĩ đến (n2 – n + 1)2.

Bài toán 11 

Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương.

Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4.

so chinh phuong la gi 06

Bài toán 12 

Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng : Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chính phương.

Bài toán 13

Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.

Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4.

Bài toán 14

Chứng minh rằng số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương.

Gợi ý 

Nghĩ đến phép chia cho … một chục (?)

Bài toán 15 

Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?

Qua bài viết trên bạn đã biết số chính phương là gì và những bài tập liên quan đến số chính phương rồi đúng không? Số chính phương là dạng bài tập khá phổ biến nên bạn hãy nhớ kỹ công thức cũng như quy tắc để áp dụng bài tập được nhanh và chuẩn hơn nhé! Chúc các bạn thành công!

2 thoughts on “Số chính phương là gì? Những bài tập liên quan đến số chính phương

  1. Pingback: bài tập về số chính phương 9 - ponpang

  2. Pingback: Kiến Thức Và Bài Tập Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ | Lessonopoly

Trả lời