Lý thuyết và bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 11

Trong chương trình toán lớp 11 có một mảng kiến thức trọng tâm quan trọng là tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số. Đây là dạng bài tập được gặp rất nhiều trong các đề kiểm tra, đề thi. Để giải những bài tập dạng này thật sự không khó nhưng phải chú trọng phương pháp giải. Bài viết dưới đây lessonopoly sẽ hướng dẫn cách giải bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số. Các bạn cùng tham khảo nhé!

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số là yêu cầu của rất nhiều bài thi
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số là yêu cầu của rất nhiều bài thi

Lý thuyết về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

Công thức tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
Công thức tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

Tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất của hàm số thông qua tham số m
Tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất của hàm số thông qua tham số m

Hãy tham khảo video sau đây để hiểu hơn về cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số nhé!

 

Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp giải áp dụng toán giải tích lớp 12

* Bước 1: Tìm các điểm x1; x2; x3; ..; xn trên [a; b], tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

* Bước 2: Tính f(a); f(x1); f(x2); f(x3); …; f(xn); f(b).

* Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên thì .

{M}=f(x)  m=f(x) 

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x3 – 8×2 + 16x – 9 trên đoạn [1; 3] là:

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên [1;3]

Ta có đạo hàm y’= 3×2 – 16x + 16

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 04

Suy ra ta chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x^4 – 2x^2 + 1 trên đoạn [0; 2] là:

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 05

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên [0;2]

Ta có y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1).

Xét trên (0;2) ta có f'(x) = 0 khi x = 1.

Khi đó f(1) = 0; f(0) = 1; f(2)= 9

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 06

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x(x + 2).(x + 4).(x + 6) + 5 trên nữa khoảng [-4; +∞) là:

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 07

Nhận xét: Hàm số f(x) liên tục trên

* Ta có: y = (x^2 + 6x).(x^2 + 6x + 8) + 5.

Đặt t = x^2 + 6x. Khi đó y = t.(t + 8) + 5 = t^2 + 8t + 5

* Xét hàm số g(x)= x^2  + 6x với x ≥ -4.

Ta có g'(x) = 2x + 6; g'(x) = 0 khi và chỉ khi x = -3

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 08

Bảng biến thiên:

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 09

Suy ra t ∈ [-9; +∞)

* Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = h(t)= t^2 + 8t + 5 với t ∈ [-9; +∞).

* Ta có h'(t) = 2t + 8

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 10

h'(t) = 0 khi t = – 4;

 

Bảng biến thiên

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 11

 

 

Vậytim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 12

Suy ra chọn đáp án B. 

Xem thêm: Phép vị tự là gì? Các dạng bài tập phép vị tự lớp 11

Xem thêm: Công thức tính diện tích, chu vi hình thoi cần nhớ, kèm bài tập mẫu cho bạn

Các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số và cách giải

Dạng 1: Các bài tập cơ bản

Bài tập 1: Cho đồ thị hàm số (C ): y = f(x) có hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào là ĐÚNG?

(A) Hàm số y = f(x)  đạt giá trị lớn nhất khi x = 0.

(B) Hàm số y= f(x)  đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 0.

(C) Hàm số y= f(x) đạt giá trị cực tiểu tại x = 0.

(D) Hàm số y= f(x) đạt giá trị cực đại bằng 0.

Giải

Hàm số y= f(x) đạt giá trị cực đại bằng 0 khi  và không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Suy ra: (A), (B), (C) sai, (D) đúng.

Chọn (D).

Lưu ý: Hàm số có hai cực trị (cực đại và cực tiểu), không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Dạng 2: Bài tập nâng cao

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 13

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 14

Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x= 0 và không đạt giá trị nhỏ nhất.

Chọn D.

Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x)trên K.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K.

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 15

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận

Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

 

Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈[a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3.Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 16

Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b)

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3. Tính

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 17

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

tim gia tri lon nhat nho nhat cua ham so 18

Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Phương pháp giải áp dụng tính chất toán học 12

Cho hàm số y = f(x;m) liên tục trên đoạn [a;b]. Tìm m để giá trị max; min của hàm số thỏa mãn điều kiện T:

Bước 1. Tính y’(x).

+ Nếu y'(x) ≥ 0; ∀x trên đoạn [a;b] thì hàm số sẽ đồng biến trên [a;b]

⇒ Hàm số đạt min tại x = a; hàm số max nhất tại x = b

+ Nếu y'(x) ≤ 0; ∀x trên đoạn [a; b] thì hàm số sẽ nghịch biến trên [a; b]

⇒ Hàm số min tại x = b và đạt max tại x = a.

+ Nếu hàm số không đơn điệu trên đoạn [a; b] ta sẽ làm như sau:

Giải phương trình y’ = 0.

Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra min và max của hàm số trên [a;b].

Bước 2. Kết hợp với giả thuyết ta suy ra giá trị m cần tìm.

Bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Câu 1: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 3x + 3 trên [-1; 3/2] lần lượt là;

  1. 15/8 và 5
  2. 5 và 1
  3. 1 và 15/8
  4. 5 và 15/8

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (1 – x) / (2x – 3) trên [0;2] là:

  1. 0
  2. -1/3
  3. -1
  4. 2

Câu 3: Hàm số y = √3sin⁡x + cos⁡x có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là:

  1. 0 và -1
  2. √3 và 0
  3. √3 và -1
  4. 2 và -2

Câu 4:Hàm số y = cos⁡2x – 4sin⁡x + 4 có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; π/2] là

  1. π/2 và 0
  2. 5 và 1
  3. 5 và -1
  4. 9 và 1

Câu 5: Hàm số y = cos⁡x(sin⁡x+1) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; π] là:

  1. 1 và -1     B. 2 và -2     C. (3√3)/4 và -(3√3)/4     D. 2 và 0

Bài viết trên đã gửi đến bạn những kiến thức liên quan đến tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số. Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích ích được cho bạn trong việc giải bài tập của mình. Bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số thường xuất hiện trong các bài thi quan trọng nên các bạn hãy lưu ý những kiến thức trên nhé!

 

Trả lời