Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng cho trước – Đại số lớp 10

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng, nghịch biến trên khoảng là kiến thức đại số cực kì quan trọng của chương trình toán học phổ thông. Phần tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, tính đơn điệu của hàm số sẽ có mặt trong kì thi đại học, trung học phổ thông quốc gia. Vì vậy các em cần nắm vững kiến thức cũng như vận dụng để làm tốt những dạng bài tập này.

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng, nghịch biến trên khoảng.
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng, nghịch biến trên khoảng.

Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số 

1. Định nghĩa

– Cho hàm số y= f(x) xác định trên D, trong đó D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng. Với x1 < x2 thuộc (a,b). Và (a,b) thuộc D. 

         a) Hàm số y= f(x) đồng biến trên D nếu mọi x1, x2 thuộc D, x1 < x2 => f(x1) < f(x2).

         b) Hàm số y= f(x) nghịch biến trên D nếu mọi x1, x2 thuộc D, x1 < x2 => f(x1) > f(x2).

– Hiểu đơn giản là:

        a) Nếu như x1 < x2 và f(x1) < f(x2) thì hàm số đồng biến trên D. Có nghĩa là khi biến x tăng mà hàm y cũng tăng theo, khi biến x giảm thì y cũng giảm theo thì hàm số đó làm hàm số đồng biến.  

        b) Nếu như x1 < x2 và f(x1) > f(x2) thì hàm số nghịch biến trên D. Có nghĩa là khi biến x giảm mà hàm y lại tăng thì hàm số đó là hàm số nghịch biến.

2. Định lý

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên.

         a) Nếu f'(x)> 0 với mọi x thuộc D thì hàm số f(x) đồng biến trên D

         b) Nếu f'(x)< 0 với mọi x thuộc D thì hàm số f(x) nghịch biến trên D. 

         c) Nếu f'(x)= 0 với mọi x thuộc D thì hàm số f(x) không đổi trên .

Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm  f'(x)> 0  trên khoảng (a;b) thì hàm số  đồng biến trên đoạn[a;b] . Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f'(x)< 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số  nghịch biến trên đoạn [a;b].

3. Định lý mở rộng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên D.

         a) Nếu f'(x)> 0 với mọi x thuộc D và f(x)= 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của D thì hàm số f(x) đồng biến trên D.

         b) Nếu f'(x)< 0 với mọi x thuộc D và f(x)= 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của D thì hàm số f(x) nghịch biến trên D .

Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng

Bước 1. Tìm tập xác định.

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x1, x2,…n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ:  Xác định tính đơn điệu của hàm số sau:

         a)         tim m de ham so dong bien tren khoang 2

         b)         tim m de ham so dong bien tren khoang 3

         c)         tim m de ham so dong bien tren khoang 4

Lời giải:

  1. a) 

– Tập xác định D=R

Ta có: y’= 3-2x

Cho y’= 0 <=> 3-2x = 0 <=> x = 3/2

Tại x = 3/2 => y = 25/4

Lập bảng biến thiên
Lập bảng biến thiên

Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng từ (-∞;3/2) và nghịch biến trên khoảng từ (3/2; +∞).

      b) 

– Tập xác định D=R

Ta có: y’= x2 + 6x – 7

Cho y’= 0 <=> x = hoặc x = -7. 

Tại x = 1 => y = (-17/3), tại x = -7 => y = 239/3. 

Lập bảng biến thiên
Lập bảng biến thiên

 

Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng từ (-∞;-7) và (1;+∞),  nghịch biến trên khoảng từ (-7; 1).

         c) 

– Tập xác định D=R

Ta có: y’= x4 – 2×2 + 3 

Cho y’= 0 <=> 4×3 – 4x = 0 <=> 4x(x – 1)(x + 1) = 0.  

<=> x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1. 

Tại x = 0 => y = 3

Tại x = 1 => y = 2

Tại x = -1 => y = 2. 

Lập bảng biến thiên 
Lập bảng biến thiên

Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng từ (-1; 0) và (2; +∞),  nghịch biến trên khoảng từ (-∞; 1) và (0; 1).

Ví dụ: Xác định tính đơn điệu của hàm số sau: 

a)         tim m de ham so dong bien tren khoang 8

b)         tim m de ham so dong bien tren khoang 9

Lời giải:

a) 

tim m de ham so dong bien tren khoang 10

b)

tim m de ham so dong bien tren khoang 11

Phương pháp tìm m đề hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Lý thuyết :

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f′(x)≥ 0, với mọi x thuộc K thì f(x) đồng biến trên K.

Nếu f′(x)≤ 0, với mọi x thuộc K thì f(x) nghịch biến trên K.

(Dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức Δ=b2−4ac. Ta có:

– f(x)≥ 0, với mọi x thuộc R <=> a> 0 và Δ ≤ 0.  

– f(x)≤ 0, với mọi x thuộc R <=> a< 0 và Δ ≤ 0.

Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K. Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính đạo hàm f’(x,m). Đưa bất phương trình f'(x) về dạng g(x) ≥  m

Bước 2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K <=> f′(x,m)≥ 0, với mọi x thuộc K <=> m ≥ g(x), với mọi x thuộc K (m ≤ g(x) ) 

Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.

Rút m theo x

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x,m), đưa về dạng bậc 2.

Bước 2. Xét f'(x, m) bằng 0

Bước 3. Rút x và m sang hai vế dạng g(x) = m

Bước 4. Dựa vào điều kiện dưới đây để suy ra m. 

– f(x)≥ 0, với mọi x thuộc R <=> a> 0 và Δ ≤ 0.  

– f(x)≤ 0, với mọi x thuộc R <=> a< 0 và Δ ≤ 0.

Ví dụ: 

Cho hàm số y = x³ – (m + 1)x² – (m² – 2m)x + 2020. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).

tim m de ham so dong bien tren khoang 12

Kết luận: vậy với m thuộc [1; 3/2] thì hàm số y = x³ – (m + 1)x² – (m² – 2m)x + 2020 nghịch biến trên khoảng (0;1).

Lập bảng biến thiên, xét dấu 

Bước 1. Tính đạo hàm f’(x,m). Đưa bất phương trình f'(x) về dạng g(x) ≥  m

Bước 2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K <=> f′(x,m)≥ 0, với mọi x thuộc K <=> m ≥ g(x), với mọi x thuộc K (m ≤ g(x) ) 

Bước 3. Lập bảng biến thiên . Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.

Xem thêm: Công thức đạo hàm đầy đủ nhất

Ví dụ:

Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 3(m + 1)x – (m – 1).

         a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞]

         b) Tìm m để hàm số đồng biến [-1; 3].

Lời giải:

        a) Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞]

– Tập xác định: D=R

– Ta có f'(x) = 3x2 – 6x – 3(m + 1).

– Để hàm số đồng biến trên [1; +∞] thì f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc [1; +∞]. 

=> 3x2 – 6x – 3(m + 1) ≥ 0, với mọi x thuộc [1; +∞]

=> x2 – 2x – 1 ≥ m, với mọi x thuộc [1; +∞]

Đặt y(x) = x2 – 2x – 1 => y'(x) = 2x – 2.

y'(x) = 0 <=> x = 1. 

Lập bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta có:

tim m de ham so dong bien tren khoang 13

y(x) ≥ m, với mọi x thuộc [1; +∞]

Min[y(x)] trong khoảng từ [1; +∞] = -2 ≥ m => m  ≤ 2. 

Kết luận: Vậy với m = -2 thì hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 3(m + 1)x – (m – 1) đồng biến trên khoảng từ [1; +∞].

            b)  Tìm m để hàm số đồng biến [-1; 3].

– Tập xác định: D=R

– Ta có f'(x) = 3x2 – 6x – 3(m + 1).

– Để hàm số đồng biến trên [-1; 3]  thì f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc [-1; 3]. 

=> 3x2 – 6x – 3(m + 1) ≤ 0, với mọi x thuộc [-1; 3]. 

=> x2 – 2x – m – 1 ≤ 0, với mọi x thuộc [-1; 3]

=> x2 – 2x – 1 ≤ m, với mọi x thuộc [-1; 3]

Đặt y(x) = x2 – 2x – 1 

=> y'(x) = 2x – 2 

Cho y'(x) = 0 <=> x = 1. 

Lập bảng biến thiên ta có:

tim m de ham so dong bien tren khoang 14

Từ bảng biến thiên ta y(x)  ≤ m, với mọi x thuộc [-1; 3]

=> Max[y(x)] với x thuộc [-1; 3] = 2 ≤ m => m ≥ 2. 

Kết luận: Vậy với m m ≥ 2 thì hàm số đồng biến trên [-1; 3]

Ví dụ tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Tìm m để hàm số đồng biến trên R

Cho hàm số y = x3 + 2(m + 1)x2 – 3mx + 5 – m, với m là tham số. Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên R.

Lời giải:

tim m de ham so dong bien tren khoang 15

Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

tim m de ham so dong bien tren khoang 16

Lời giải:

tim m de ham so dong bien tren khoang 17

Kết luận: Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn yêu cầu đề bài. 

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng cho trước

Ví dụ 1: 

tim m de ham so dong bien tren khoang 18

Lời giải:

tim m de ham so dong bien tren khoang 19

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng cho trước

tim m de ham so dong bien tren khoang 20

Tìm a để hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 1

tim m de ham so dong bien tren khoang 21

 

Bài tập tự luyện

  1. Tìm m để hàm số   tim m de ham so dong bien tren khoang 22  đồng biến trên đồng biến trên (-∞; 0)
  2. Tìm m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 23  đồng biến trên đồng biến trên [2; +∞ )
  3. Tìm m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 24  đồng biến trên đồng biến trên (2; +∞ )
  4. Tìm m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 25    đồng biến trên nghịch biến biến trên (-∞; 1).
  5. Tìm m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 26    đồng biến trên nghịch biến trên [1; +∞ ).
  6. Tìm a để hàm số    tim m de ham so dong bien tren khoang 27   đồng biến trên đồng biến trên (2; +∞ )
  7. Tìm m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 28  đồng biến trên đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 2) và (2; +∞ )
  8. Tìm a để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 29   đồng biến trên mỗi khoảng có hoành độ thỏa 1≤|x|≤ 2.
  9. Tìm m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 30   đồng biến trên nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4.
  10. Tìm m để hàm số    tim m de ham so dong bien tren khoang 31    đồng biến trên nghịch biến biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4.
  11. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 32   đồng biến trên R
  12. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số    tim m de ham so dong bien tren khoang 33  đồng biến trên R.
  13. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 34   đồng biến trên (1;+∞)
  14. Cho hàm số .Tìm tất cả giá trị của m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 35    nghịch biến trên R.
  15. Tìm m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 36     nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
  16. Tìm m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 37     đồng biến trên khoảng (2;+∞)
  17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 38   đồng biến trên khoảng
  1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số  tim m de ham so dong bien tren khoang 39   nghịch biến trên (-1;1).
  2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx luôn nghịch biến trên R?

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng không hề khó. Chủ yếu dựa vào đạo hàm và lập bảng biến thiên. Vậy nên các em hãy cố gắng làm thật nhiều bài tập là có thể giải quyết những bài toán này. Truy cập lessonopoly để cập nhật những bài học đại số quan trọng khác nữa trong chương trình lớp 10. 

Trả lời