Kiến thức và bài tập tổng và hiệu của hai vectơ

Vectơ là kiến thức cơ bản của toán hình học. Giữa hai vectơ sẽ có nhiều phép toán trong đó có phép toán cộng và trừ. Tìm tổng và hiệu của hai vectơ chính là yêu cầu của nhiều đề bài hình học lớp 10. Tổng và hiệu của hai vectơ không khó nhưng rất dễ khiến bạn nhầm lẫn. Bài viết sau đây, lessonopoly sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài tập tổng và hiệu của hai vectơ. Các bạn hãy cùng tham khảo nhé!

Xác định tổng và hiệu của hai vecto là yêu cầu của rất nhiều bài tập
Xác định tổng và hiệu của hai vecto là yêu cầu của rất nhiều bài tập

Định nghĩa tổng của hai vectơ

Cho 2 vectơ, lấy 1 điểm A nào đó rổi xác định các điểm B và C sao cho. Khi đó vecto  được gọi là tổng của hai vecto .

Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý vẽ vectơ AB = vectơ a, vectơ BC = vectơ b. Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và vectơ b. 

tong va hieu cua hai vecto 02

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ

Tính chất của phép cộng vectơ

Tính chất giao hoán

tong va hieu cua hai vecto 03

vecto a cộng vecto b bằng vecto b cộng vecto a

Tính chất kết hợp

tong va hieu cua hai vecto 04

Ta có vecto a cộng vecto b tất cả cộng cho vecto c thì ta được vecto a tất cả cộng cho vecto b cộng vecto c.

Tính chất của vecto 0

tong va hieu cua hai vecto 05

Vecto a cộng vecto 0 bằng vecto 0 cộng vecto a và bằng vecto 0.

Hãy theo dõi video sau đây để biết cách xác định tổng và hiểu của hai vecto nhé!

Quy tắc cần nhớ

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm bất kì M,N,P ta có:

vecto MN + vecto NP = vecto MP

Quy tắc 3 điểm trong phép cộng vecto
Quy tắc 3 điểm trong phép cộng vecto

Quy tắc hình bình hành

Nếu OABC  là hình bình hành ta có:

vecto OA + vecto OC = vecto OB

Quy tắc hình bình hành trong tính tổng hai vecto
Quy tắc hình bình hành trong tính tổng hai vecto

Bài toán áp dụng quy tắc hình bình hành: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của vectơ tổng 

Giải

Ta lấy điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Theo quy tắc hình bình hành ta có:

vecto AB + vecto AC = vecto AD

tong va hieu cua hai vecto 08


Vì ABC là tam giác đều nên ABCD là hình thoi và độ dài AD bằng gấp 2 đường cao AH của tam giác ABC.

Vậy nên ta có:

tong va hieu cua hai vecto 09

Quy tắc hình bình hành thường vecto b được áp dụng trong vật lí để xác định hợp lực của hai lực vecto a cùng tác dụng lên một vật.

Xem thêm:Số chính phương là gì? Những bài tập liên quan đến số chính phương

Xem thêm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và những điều bạn cần lưu ý

Quy tắc trung điểm và trọng tâm

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì vecto MA + vecto MB = vecto 0

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì vecto GA + vecto GB + vecto GC = vecto 0.

Vectơ đối của một vectơ

Nếu tổng của vecto a và vecto b bằng vecto 0 thì ta nói vecto a và vecto đối của vecto b hoặc ngược lại vecto b là vecto đối của vecto a.

Định nghĩa của vecto đối:

Vecto đối của vecto a là vecto ngược hướng với vecto a và có cùng độ lớn với vecto a. 

Vecto đối của vecto 0 là chính nó.

Hiệu của hai vectơ

Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ a được gọi là vec tơ đối của vec tơ a, kí hiệu – vecto a.

Vec tơ đối của vecto 0 là vecto 0.

Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ a và b. Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu:

Kí hiệu hiệu của hai vecto
Kí hiệu hiệu của hai vecto

Với ba điểm bất kì, ta luôn có 

tong va hieu cua hai vecto 11

(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.

(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.

  1. a) Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của đoạn thẳng

tong va hieu cua hai vecto 12

Trọng tâm của tam giác:

G là trọng tâm  của tam giác ABC 

tong va hieu cua hai vecto 13

Các dạng bài tập minh họa

Bài tập 1:

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vector MA cộng vecto MB và vecto MA trừ vecto MB.

Bài giải:

Trên đoạn MA, lấy điểm C sao cho MC = MB

Nhận thấy vecto CM và vecto MB cùng hướng cùng hướng nên vecto CM = vecto MB.

Khi đó:

tong va hieu cua hai vecto 14

Kiến thức áp dụng giải bài toán:

Quy tắc ba điểm : Với ba điểm A, B, C bất kì ta có:

tong va hieu cua hai vecto 15

Bài tập 2:

Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: vecto MA + vecto MC = vecto MB + vecto MD.

Bài giải:

Bởi vì ABCD là hình bình hành nên ta có vecto AB bằng vecto DC.

tong va hieu cua hai vecto 16

Kiến thức áp dụng:

Quy tắc ba điểm: vecto AB + vecto BC = vecto AC với mọi điểm A, B, C.

vecto a + vecto 0 = vecto a.

Bài tập 3:

Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kỳ ta luôn có:

tong va hieu cua hai vecto 17

Bài giải:

tong va hieu cua hai vecto 18

Kiến thức áp dụng:

Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kỳ ta luôn có:

tong va hieu cua hai vecto 19

Bài tập 4: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng tong va hieu cua hai vecto 20

Bài giải:

tong va hieu cua hai vecto 21

Ta có:

AJIB là hình bình hành nên vecto AJ = vecto BI

tong va hieu cua hai vecto 22

Tương tự như vậy:

BCPQ là hình bình hành nên vecto BQ + vecto PC = vecto 0

CARS là hình bình hành nên vecto CS + vecto RA = vecto 0

Do đó:

tong va hieu cua hai vecto 23

Quy tắc ba điểm cộng hai vectơ

tong va hieu cua hai vecto 24

Bài tập 5: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ

tong va hieu cua hai vecto 25

Bài giải:

tong va hieu cua hai vecto 26

Ta có:

tong va hieu cua hai vecto 27

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Trong đó D là đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD

tong va hieu cua hai vecto 28

+ Tính BD:

Hình bình hành ABCD có AB = BC = a nên ABCD là hình thoi.

⇒ AC ⊥ BD tại O là trung điểm của AC và BD.

tong va hieu cua hai vecto 29

Bài viết trên đã gửi đến bạn lý thuyết cũng như bài tập về tổng và hiệu của hai vecto. Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích được cho bạn trong việc giải bài tập của mình. Tổng và hiệu của hai vecto xuất hiện rất nhiều trong các bài thi và bài kiểm tra nên bạn hãy lưu ý những kiến thức trên nhé!

Trả lời